- •4.12. Кривизна плоской кривой. Эволюта и эвольвента
- •4.13. Формула Тейлора7
- •Вопросы
- •4.14. Остаточный член формулы Тейлора в форме Лагранжа
- •4.15. Представление некоторых функций по формуле Тейлора
- •4.16. Приложения формулы Тейлора к исследованию функций
- •4.16.1. Главная часть бм
- •Вопросы
- •4.16.2 Возрастание и убывание функции
- •4.16.3. Экстремумы функции
- •4.16.4. Выпуклость и вогнутость кривой
- •4.16.5. Точки перегиба кривой
- •Вопросы
- •4.17. Формула Тейлора для числовой функции нескольких переменных
- •4.18. Локальные экстремумы функции нескольких переменных
- •4.19. Аппроксимация опытных данных по методу наименьших квадратов
- •4.20. Производная скалярного поля по направлению. Градиент
- •Вопросы
- •Задание для самостоятельного решения
- •4.21. Понятие о приближенных методах поиска локальных экстремумов
- •4.21.1. Релаксационный13 метод
- •4.21.2. Градиентный метод
- •4.21.3. Метод крутого восхождения (наискорейшего спуска)
- •4.21.4. Метод последовательного поворота симплекса
- •4.22. Условные экстремумы числовой функции нескольких переменных
- •4.23. Глобальные экстремумы числовой функции нескольких переменных
- •Задание для самостоятельного решения
- •4.24. Формулировка задачи линейного программирования
- •4.25. Понятие о задачах нелинейного и целочисленного программирования
- •4.26. Дифференциал и производная вектор-функции скалярного аргумента
- •Задание для самостоятельного решения
- •4.27. Кривизна пространственной кривой
- •Вопросы
- •Задание для самостоятельного решения
4.20. Производная скалярного поля по направлению. Градиент
Как уже отмечалось, числовые функции нескольких переменных при анализе физических проблем часто называют скалярными полями (поле температур, давлений, электростатического потенциала и т.д.)
Р ассмотрим скалярное поле и проследим за тем, как оно изменяется в окрестности произвольной точки по выбранному направлению (рис.4.20.1). Для этого введем вектор , сонаправленный с .
Будем считать, что точка имеет координаты:
x + x, y + y, z + z, тогда
Запишем полное приращение функции:
u = f (x +x, y +y, z +z)–
f (x,y,z).
Если рассматриваемая функция является дифференцируемой, то согласно формуле Тейлора
(4.20.1)
Величина
(4.20.2)
называется производной скалярного поля по направлению вектора . Она характеризует скорость изменения функции по рассматриваемому направлению.
Для вычисления предела (4.20.2) разделим (4.20.1) на l и учтем, что в силу условия = имеем равенства
Поэтому при l получим формулу для вычисления производной
(4.20.3)
Вектор
(4.20.4)
называется градиентом21 скалярного поля в рассматриваемой точке М(x, y, z).
Если ввести вектор , то из (4.20.3) следует, что
Таким образом, производная скалярного поля по направлению равна проекции градиента на это направление:
(4.20.5)
Выясним теперь, как направлен градиент. Для этого введем так называемые поверхности уровня, т.е. поверхности, на которых значение рассматриваемой функции постоянно:
f (x, y, z) = C (4.20.6)
(вспомните знакомые из физики изотермы, изобары, эквипотенциальные поверхности и т.д.).
Ранее отмечалось, что уравнение касательной плоскости к поверхности z = f (x, y) в точке имеет вид
Если уравнение поверхности задано в неявном виде и оно определяет функцию , то вместо нужно подставить
;
Тогда
или окончательно
(4.20.7)
У равнение касательной плоскости к поверхности (4.20.6), очевидно, должно совпадать с (4.20.7), так как наличие константы в правой части (4.20.6) не изменит рассматриваемых частных производных. Поэтому вектор grad u направлен по нормали к поверхности уровня (4.20.6) (нормальный вектор к плоскости (4.20.7) имеет вид
и совпадает с grad u (4.20.4)).
Таким образом, градиент обладает следующими свойствами (рис. 4.20.2):
1) направлен по нормали к поверхности уровня;
2) производная по любому направлению равна проекции градиента на это направление.
Вопросы
1. Какое можно предложить определение градиента, не зависящее от выбора системы координат, а связанное только с понятием скалярного поля?
2. Как показать, что направление gradu является направлением наибыстрейшего возрастания функции поля u (x, y, z)?
3. Чему равна производная по направлению для плоского поля?