.

Напомним, что является ортогональной матрицей.

Преобразуем с помощью матрицы линейную форму данного уравнения по схеме

где

Таким образом,

В новой системе координат вместо исходного уравнения получаем

И збавимся от линейной формы путем выделения «полных квадратов»:

– уравнение гиперболы.

Здесь обозначено

Итак, в системе координат уравнение кривой принимает канонический вид

Оси координат системы параллельны осям координат и соответственно, а начало «передвинуто» в точку (рис.2.25).

Задание для самостоятельного решения

1. Какой вид примет уравнение (2.35.9) при ? Результат изобразите графически.

2. Запишите уравнение эллипса с центром в точке , если его полуоси равны 2 и 5.

3. З апишите уравнение гиперболы, изображенной на рис. 2.26.

4. Запишите уравнение биссектрисы угла , где , а  фокусы эллипса

У к а з а н и е: используйте свойство нормали к эллипсу в точке (она является биссектрисой угла между векторами и ).

5. Запишите уравнение прямой, проходящей через точку и центр окружности

6. Найдите точки пересечения параболы с биссектрисой первой четверти.

7. Запишите уравнение касательной к параболе параллельной прямой ; перпендикулярной прямой .

8. Постройте кривые:

1. 6)

2. 7)

3. 8)

4. 9)

5. 10)

9. Приведите к каноническому виду уравнения кривых:

1)

2)

2.35.3. Приведение общего уравнения поверхностей второго порядка

к каноническому виду

Исследование общего уравнения поверхности второго порядка

(2.35.14)

проводится по той же схеме, что и исследование уравнения кривой второго порядка. Естественно, различных геометрических образов здесь будет больше.

Итак, выполнив поворот системы координат так, чтобы направления новых осей совпали с направлениями собственных векторов матрицы

квадратичной формы , получим вместо (2.35.14) более простое уравнение:

(2.35.15)

где  собственные значения матрицы .

Глава третья. Введение в математический анализ

Возникновение математического анализа (т.е. дифференциального и интегрального исчислений) явилось переломным моментом как в истории математики, так и в истории всей человеческой культуры.

Созерцательно-статический характер жизни древних, не знавших сложных механизмов и не подвергавших глубокому анализу физических явлений окружающего мира, породил метафизическую математику, рассматривавшую лишь «застывшие» состояния и якобы в совершенстве копирующую гармонию мира. Едва ли не единственным исключением был Архимед, в трудах которого математика успешно сочеталась с проблемами физики и механики.

«Предтечей» высшей математики по праву считается Рене Декарт (1596-1650), провозгласивший познаваемость мира, изучение которого он считал основной задачей математики. Декарт и Пьер Ферма (1601-1665) независимо друг от друга разработали систему использования метода координат и алгебраических выкладок в геометрии. Ферма ввел кроме того и понятие дифференциала.

Создателями высшей математики (математического анализа) явились крупнейшие мыслители XVII в. Исаак Ньютон (1643-1727) и Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716). Им принадлежит связное изложение нового исчисления, алгоритм отыскания производных и анализ связи между производной и интегралом. Лейбницем, в частности, были введены обозначения y = f (x) для функции и  для её производной.

Интересно отметить, что Лейбниц первоначально называл интеграл суммой (S), а интегральное исчисление – сумматорным исчислением. Термины интеграл (от лат. integer – целый) и интегральное исчисление были предложены его учениками Якобом (1654-1705) и Иоганном (1667-1748) Бернулли – представителями уникального «математического» семейства, давшего в XVII – XVIII вв. восемь прекрасных математиков.

Ученики И. Бернулли – Франсуа Антуан де Лопиталь (1661-1704) и Леонард Эйлер (1707-1783), а затем Жан Лерон Даламбер (1717-1783), Жозеф Луи Лагранж (1736-1813) и его ученик Жан Батист Фурье (1768-1830), Огюстен Луи Коши (1789-1857) и Георг Фридрих Бернхард Риман (1826-1866) и другие выдающиеся учёные – математики не только сыграли огромную роль в дальнейшем прогрессе математики, физики и механики, но и создали мощный аппарат, приспособленный для анализа всевозможных процессов и явлений природы, позволивший далеко раздвинуть рамки познания окружающего мира и вселенной.

Сегодня понятия производной и интеграла стали необходимыми элементами общей культуры человека. Они расширяют кругозор и оказываются полезными не только при решении технических задач, но и в самых разных областях знаний.