Задание для самостоятельного решения

Подумайте, можно ли в ввести метрику по формуле:

(x, y)=

где

Линейное пространство L называется нормированным, если на множестве всех его элементов определена действительная функция , называемая нормой, которая удовлетворяет следующим аксиомам:

1. , причем ;

2. ;

3. .

Значение нормы на элементе х называется его нормой, или длиной. В любом нормированном пространстве естественно ввести метрику согласно правилу

.

3.3. Ограниченные, открытые, замкнутые множества. Верхняя и нижняя грани числовых множеств. Диаметр множества.

Множество , где Х – метрическое пространство, называется ограниченным, если расстояние между двумя его любыми точками не превосходит некоторого числа:

Множество называется неограниченным, если для любого действительного числа найдутся такие точки и из А, что расстояние между ними больше с:

Пусть в метрическом пространстве Х выбрана точка и указано некоторое положительное число r. Тогда множество

называется r–окрестностью точки .

Число r называют радиусом, а точку  центром окрестности.

П р и м е р ы

1. В пространстве R с метрикой = окрестностью точки служит интервал

2. В пространстве с евклидовой метрикой вида (3.2.1) окрестностью точки является круг

(точки, лежащие на граничной окружности, в окрестность не входят).

3. В пространстве функций, для которых определена чебышевская метрика (3.2.5), окрестностью функции x(t) служит множество всех функций рассматриваемого семейства, попадающих в «коридор» (рис. 3.3.1).

Пусть рассматривается множество . Точка называется предельной точкой множества А , если любая окрестность точки содержит хотя бы одну точку множества А, отличную от :



На рис. 3.3.1 показана область А с «проколом»: из А удалена точка . Рассмотрим множество Точки и являются предель-ными точками множества В, причем , . Точка предельной множест-ва В не является. Точка является предельной точкой множества В , а будет ли она ему принадлежать, зависит от того , включены или не включены в область А точки ограничивающей ее кривой.

Точка называется изолированной точкой множества А, если она не является предельной точкой множества А:



На рис. 3.3.1 точка является изолированной точкой множества

Объединение множества с множеством всех его предельных точек образует (по определению) замкнутое множество [A].

Множество называется открытым, если его дополнение является замкнутым.

Следует заметить, что предыдущие рассуждения справедливы, когда метрическое пространство Х само не имеет «проколов». Это свойство метрического пространства называется его полнотой, однако, мы этим вопросом здесь заниматься не будем.

Например, в пространстве R с метрикой (x, y)= замкнутыми являются следующие множества:



(последнее считается замкнутым по определению); открытыми являются

.

Множество не является ни замкнутым, ни открытым (полуоткрытый промежуток).

В пространстве с метрикой (3.2.2) множество является откры-тым шаром. В случаях п =1, 2, 3 соответственно получаем интервал, открытый круг и обычный открытый шар:

Соответствующие замкнутые шары определяются формулами

В пространстве с метрикой (3.2.2) множество

называется р–окрестностью бесконечно удаленной точки (р >0), (0, 0,…, 0). Множество является открытым.

Пусть AR. Тогда число называется точной верхней гранью множества А, если выполнены следующие условия:

1. ;

2. 

Для точной верхней грани используется обозначение⁵:

Точная нижняя грань множества А обозначается⁶ : = inf A и вводится аналогично:

1. 

2. 

С помощью понятия точной верхней грани можно сформулировать следующее определение диаметра для произвольного множества в метрическом пространстве: диаметром множества , где Х  метрическое пространство, называется число

(3.3.1)

Определение (3.3.1) говорит о том, что для замкнутого множества диаметр есть расстояние между его самыми далекими точками. Для открытого множества ситуация аналогична, если к нему добавить все его предельные точки. Поэтому определение (3.3.1) соответствует понятиям диаметра круга и диаметра шара, известным из геометрии.