Задание для самостоятельного решения
Укажите точные верхние и нижние грани для множеств:
Из данных множеств выберите ограниченные открытые и ограниченные замкнутые:
а) 1 х
5; г)
б)
д)
в)
3.4. Предел последовательности в метрическом пространстве.
Рассмотрим последовательность
где Х – метрическое пространство.
Элемент х называется пределом
последовательности
если для любого
можно указать такое натуральное число
что при всех
выполняется условие
Приведенное определение можно выразить следующей формулой:
(3.4.1)
Н
етрудно
видеть, что любая –окрестность
точки
содержит бесконечное множество членов
последовательности
(рис.
3.4.1): все значения
при
попадают в
(попадание
в
некоторых значений
при
не
запрещается).
Заметим, что элемент х может, вообще
говоря, не принадлежать множеству Х.
Однако, мы будем считать, что величина
все же определена. Иными словами, мы
предполагаем возможность расширить
множество Х так, чтобы расстояние
было определено во всех нужных случаях.
Важным частным случаем (3.4.1) является определение предела числовой последовательности:
(3.4.2)
(число х
называется пределом числовой
последовательности
,
если для всякого
существует такое натуральное число
,
что при всех
выполняется неравенство
).
Не всякая
последовательность имеет предел.
Например, последовательность
предела не имеет.
Теорема (о единственности предела). Всякая последовательность в метрическом пространстве может иметь не более одного предела.
Для доказательства предположим, что последовательность имеет более одного предела, т.е.
(3.4.3)
Выберем произвольное . Тогда в силу (3.4.3), (3.4.1)
(3.4.4)
Выбрав
,
из (3.4.4) имеем
Отсюда, применив аксиому треугольника, получаем
Таким образом,
при любом малом
.
Но это возможно лишь при
,
откуда согласно аксиоме тождественности
имеем
,
что и доказывает теорему.
В качестве
примера докажем, что последовательность
имеет предел, равный 1. Определим, начиная
с какого номера
выражение
не превосходит
Р е ш е н и е:
.
Если выбрать
(целая часть дроби
),
то для любого
истинно высказывание
т.е.
при
имеем
Задание для самостоятельного решения
Установите, имеют ли пределы следующие последовательности при
:
а)
б)
в)
Докажите, что
Определите, начиная с какого номера
справедливо неравенство
Используя логическую символику, запишите следующие высказывания и их отрицания:
а) число х есть предел последовательности;
б) число х есть предельная точка последовательности.
3.5. Предел отображения.
Пусть Х и Y –
метрические пространства, в которых
введены метрики
и
соответственно. Пусть, кроме того, задано
отображение
Может оказаться, что сближение точки
с точкой
влечет
сближение точки y =
f (x)Y
с некоторой точкой
В этом случае говорят, что y
= f (x)
стремится к
при х, стремящемся к
.
Здесь
необходимо заметить, что в точке
отображение
может быть не определено, т е. допускается
случай, когда
.
Однако всегда надо считать, что точка
является предельной точкой множества
Х, т.е. в любой малой окрестности
точки
имеются точки множества Х , отличные
от
.
Будем считать также, что величина
определена во всех нужных нам случаях,
т.е. мы допускаем возможность добавлять
к множеству Х все его предельные
точки, когда речь идет об измерении
расстояния. Точно так же в общем случае,
когда
,
мы будем полагать, что множество Y
расширено настолько, чтобы расстояние
было всегда определено.
Элемент
называется пределом отображения y
= f (x)
в точке
,
если для любого
существует такое число
,
что при всех
,
удовлетворяющих условию
,
выполняется неравенство
Это определение
можно выразить формулой
(3.5.1)
(в данной и последующих формулировках условие ради краткости опущено).
Геометрическая интерпретация определения (3.5.1) дана на рис. 3.5.1.
Нетрудно видеть, что
Множество
называется проколотой –окрестностью
точки
.
Теорема 1
(о единственности предела). Всякое
отображение
метрического пространства в метрическое
пространство может иметь при
не более одного предела.
Доказательство выполняется аналогично тому, как это сделано в разд. 4 для теоремы о единственности предела последовательности.
Теорема 2
(о связи предела последовательности
и предела отображения). Если для любой
последовательности
,
сходящейся к точке
,
где
и
соответствующая последовательность
сходится к одному и тому же элементу
,
то существует предел отображения y
= f (x)
при
и этот предел равен
.
Доказательство теоремы мы не приводим, предлагая “прочувствовать” его с помощью интуитивных рассуждений геометрического характера. Рекомендуется также сформулировать обратную теорему.
Отметим, что из теоремы 2 следует аналогия свойств пределов для отображений и последовательностей.