3.5.1. Предел числовой функции одной переменной.

Рассмотрим отображение при т.е. числовую функцию одной переменной . При этом, как обычно,

Конкретизируя общее положение (3.5.1), в данном случае приходим к следующему определению.

Число называется пределом функции в точке (при ), если для любого можно указать такое число , что при всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство

или

Геометрическая иллюстрация этого определения приведена на рис. 3.5.2, а, из которого хорошо видно, что интервал отображается рассматриваемой функцией “вовнутрь” интервала .Функция, представленная на рис. 3.5.2, б, предела в точке не имеет.

Подобно последовательности изучается и поведение функции при

Число называется пределом функции ) в бесконечно удаленной точке (при ), если для любого существует такое число , что для всех значений , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство

В символической записи это предложение выглядит так:

.

На рис. 3.5.3 показано, что определение предела в бесконечно удаленной точке связано с отображением р–окрестности бесконечно удаленной точки “во внутрь” интервала

Аналогично введенным определениям дается и определение бесконечного предела функции в точке.

Числовая функция y = f (x) имеет при бесконечный предел, если для любого q > 0 можно указать такое число , что при всех значениях х, удовлетворяющих условию , выполняется неравенство , или

Заметим, что при отыскании пределов следует различать случаи, когда предел не существует вообще, как в примере , и случаи, когда предел существует, но равен бесконечности, например

В дальнейшем, если это не оговорено дополнительно, рассматриваются конечные пределы.

Наряду с введенным понятием предела функции в точке часто используют понятие одностороннего предела.

Число называют пределом функции y = f (x) в точке справа (слева), если для любого существует такое число , что при всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство , или

Здесь через обозначены соответственно правый и левый пределы функции y = f (x) в точке .

Аналогично вводится понятие одностороннего предела на бесконечности .

Можно доказать, что

Задание для самостоятельного решения

1. Используя логическую символику, записать следующие утверждения:

а) б)

в)

2. Установить с помощью графиков, существуют ли пределы:

а) б) в) г)

3. Доказать, что если

то

4. Найти односторонние пределы:

а) б)

в) г)

3.5.2. Предел числовой функции нескольких переменных

Д ля функции z = f (x,y) понятие предела в точке записываем с учётом того, что для отображения имеем (рис. 3.5.4):

Предел в бесконечно удаленной точке вводится аналогично (рис. 3.5.5):

Аналогично вводятся понятия пределов для функций большего числа переменных:

где

3.6. Бесконечно малые, ограниченные, бесконечно большие и отделимые от нуля величины

Мы рассмотрели понятие предела числовой последовательности при , числовой функции одной переменной при и , числовой функции п переменных в точке и в бесконечности. Во всех перечисленных случаях фиксируется факт сближения значения отображения с некоторым числом при том или ином ограничении на х. Благодаря этой общности многие свойства пределов числовых последовательностей и числовых функций одинаковы. Поэтому условимся называть величиной любой из следующих объектов:

1. числовая последовательность при

2. числовая функция одной переменной при

3. числовая функция одной переменной при

4. числовая функция нескольких переменных при

5. числовая функция нескольких переменных при

Введем несколько определений.

Величина называется бесконечно малой (БМ), если её предел равен нулю.

Обозначают БМ начальными буквами греческого алфавита. Например:

Теорема 1 (о связи БМ с величиной, имеющей предел). Всякая величина, имеющая предел, отличается от него на БМ.

Пусть, например, при или (это не играет роли). Тогда для при соответствующем ограничении на х выполняется условие

(3.6.1)

Если обозначать

то (6.1) равносильно условию или

(3.6.2)

т.е. Поскольку (3.6.1)  (3.6.2) , то справедливо и обратное утверждение, т.е.

(3.6.3)

Для числовой последовательности в доказательстве достаточно положить

для числовой функции нескольких переменных надо считать, что

Величина f (x) называется ограниченной на множестве А, если

Множество А для числовой последовательности совпадает с N , для f (x) при совпадает с , где р – достаточно большое число и т.д.

Примеры ограниченных величин:

Теорема 2 (о связи ограниченной и имеющей предел величин). Всякая величина, имеющая предел, является ограниченной на соответствующем множестве.

Доказательство:

Обратная теорема не имеет места: но не существует.

Величина называется бесконечно большой (ББ), если её предел равен бесконечности.

Теорема 3 (о связи БМ и ББ величин). Величина, обратная БМ, есть ББ.

Доказательство. Пусть – БМ, т.е. при Тогда при Обозначим: Поскольку при то из определения следует, что – ББ.

Аналогично рассматривается случай и др. Справедливо и обратное утверждение.

Итак, если – БМ, то – ББ и наоборот.

Поэтому часто пишут символические равенства

Всякая ББ не является ограниченной величиной. Однако, если величина не является ограниченной, то ББ она все же быть не обязана. Например, при ограниченной не является (см. с другой стороны, при имеем , т.е. нельзя сказать, что при при (рис. 3.6.1).

В еличина называется отделимой от нуля на множестве А, если

Например: при

Теорема 4 (о связи отделимой от нуля и ограниченной величин).

Величина, обратная отделимой от нуля, является ограниченной.

Доказательство:

О братная теорема очевидна, если ограниченная величина Если формально положить, что то из ограниченности следует отделимость от нуля величины Например, sin x – ограниченная а – отделимая от нуля величина, (рис. 3.6.2).

Итак, величина называется:

1. БМ, если

2. ББ, если

3. ограниченной, если

4. отделимой от нуля, если

Теорема 5 (об устойчивости знака величины, имеющей ненулевой предел).

Всякая величина, имеющая конечный ненулевой предел, отделима от нуля и принимает на соответствующем множестве значения только того знака, что и знак предела.

Пусть, например,

Выберем Тогда будем иметь

так как при или при

Случай, когда а < 0, аналогичен.