- •4.12. Кривизна плоской кривой. Эволюта и эвольвента
- •4.13. Формула Тейлора7
- •Вопросы
- •4.14. Остаточный член формулы Тейлора в форме Лагранжа
- •4.15. Представление некоторых функций по формуле Тейлора
- •4.16. Приложения формулы Тейлора к исследованию функций
- •4.16.1. Главная часть бм
- •Вопросы
- •4.16.2 Возрастание и убывание функции
- •4.16.3. Экстремумы функции
- •4.16.4. Выпуклость и вогнутость кривой
- •4.16.5. Точки перегиба кривой
- •Вопросы
- •4.17. Формула Тейлора для числовой функции нескольких переменных
- •4.18. Локальные экстремумы функции нескольких переменных
- •4.19. Аппроксимация опытных данных по методу наименьших квадратов
- •4.20. Производная скалярного поля по направлению. Градиент
- •Вопросы
- •Задание для самостоятельного решения
- •4.21. Понятие о приближенных методах поиска локальных экстремумов
- •4.21.1. Релаксационный13 метод
- •4.21.2. Градиентный метод
- •4.21.3. Метод крутого восхождения (наискорейшего спуска)
- •4.21.4. Метод последовательного поворота симплекса
- •4.22. Условные экстремумы числовой функции нескольких переменных
- •4.23. Глобальные экстремумы числовой функции нескольких переменных
- •Задание для самостоятельного решения
- •4.24. Формулировка задачи линейного программирования
- •4.25. Понятие о задачах нелинейного и целочисленного программирования
- •4.26. Дифференциал и производная вектор-функции скалярного аргумента
- •Задание для самостоятельного решения
- •4.27. Кривизна пространственной кривой
- •Вопросы
- •Задание для самостоятельного решения
4.22. Условные экстремумы числовой функции нескольких переменных
Введем новый тип экстремумов. Для этого рассмотрим целевую функцию , для которой x и y будем считать связанными функциональной зависимостью (x, y) = 0.
Г еометрический смысл такой ситуации по казан на рис. 22.1, из которого ясно, что в этом случае можно рассматривать новый тип экстремальной задачи: найти точку ( ), лежащую на кривой (x, y) = 0, в которой функция принимает максимальное (минимальное) значение. Такого рода экстремумы называют условными экстремумами.
Если уравнение (x, y) = 0 разрешить относительно y, то поиск условного сведется к поиску обычного экстремума для функции . Однако такая процедура часто бывает нерациональной или невозможной. Поэтому для поиска условных экстремумов был разработан специальный алгоритм – метод множителей Лагранжа, который мы сейчас рассмотрим.
Продифференцируем как сложную функцию, помня, что :
Отсюда с помощью необходимого условия экстремума получаем
(4.22.1)
С другой стороны, х и у связаны функциональной зависимостью , с помощью которой находим
(4.22.2)
Сравнивая производные (4.22.1) и (4.22.2), получаем равенство
равносильное системе двух уравнений
(4.22.3)
относительно неизвестных х, у, .
Введем так называемую функцию Лагранжа:
F(x, y, )=f (x, y)+ (x, y). (4.22.4)
Тогда необходимые условия экстремума для (4.22.4)
п риводят нас к уравнениям (4.22.3) и условию (х, у) = 0. Решая эти три уравнения, мы найдем точку условного экстремума.
Таким образом, с помощью функции Лагранжа задача о поиске условного экстремума сводится к задаче о локальных экстремумах для функции Лагранжа.
Для общего случая, когда z = f ,
функция Лагранжа строится по аналогии с (4.22.4):
П р и м е р
Найти кратчайшее расстояние от начала координат до кривой .
Целевая функция здесь имеет вид . Составляем функцию Лагранжа
,
а затем записываем необходимые условия локального экстремума:
(4.22.5)
Используя первые два уравнения системы (4.22.5), находим
.
Подставляем это выражение в последнее уравнение системы (4.22.5)
Интерпретация полученных результатов ясна из рис. 4.22.2: в первой точке целевая функция достигает максимума, а во второй – минимума, причем
;
Достаточные условия условного экстремума используются очень редко и в нашем курсе не рассматриваются.
Задание для самостоятельного решения
Найти экстремумы функции z = x3 при условии
2. Найти экстремумы функции z = xy при условии 2х+3у=1.
4.23. Глобальные экстремумы числовой функции нескольких переменных
Вспомним теорему Вейерштрасса о том, что всякая непрерывная на ограниченном замкнутом множестве функция принимает на этом множестве наибольшее и наименьшее значения:
.
Говорят, что в точках M1, М2 функция имеет глобальные экстремумы (в точке M1 – глобальный минимум, в точке М2 – глобальный максимум).
В R в качестве замкнутого множества обычно рассматривается отрезок [a, b], в R2 – замкнутая связная (т.е. состоящая из одного «куска») область на плоскости, в R3 – замкнутое тело.
Точки глобальных экстремумов могут располагаться:
1) внутри [А] (тогда они совпадают с точками локальных экстремумов);
2) на границе [А] (совпадают с точками условных экстремумов).
Рассмотрим, например, схему поиска глобальных экстремумов для функции двух переменный в криволинейном треугольнике ( см. рисунок):
1) найти точки локальных экстремумов Pi внутри [А];
2) найти точки условных экстремумов Qi на граничных кривых k(x, y)=0;
3) вычислить и сравнить значения целевой функции в точках Pi , Qi и Ri .
С увеличением количества переменных и усложнением формы множества [А] поиск глобальных экстремумов сопровождается возрастанием количества вычислений. В связи с этим для решения подобных экстремаль- ных задач частного вида разработаны специальные методы математического программирования (не путать с компьютерным программированием): линейного программирования, целочисленного программирования и т. д.