Вопросы

Каковы главные части БМ, определяемые с помощью формулы Тейлора:

1) cosx – 1; 2) sinx – x; 3) ln (1+ x) – x; 4) (l + x)^а–1–аx ?

Задание для самостоятельного решения

1. Вычислить пределы с помощью выделения главной части функций по формуле Тейлора:

4.16.2 Возрастание и убывание функции

Пусть 0, тогда

Таким образом, в окрестности точки произвольная функция аппроксимируется линейной функцией, причем степень аппроксимации тем выше, чем х ближе к . Отсюда ясно, что при > 0 функция в окрестности точки возрастает, а при < 0 убывает (рис. 4.16.1). Если = 0, то точка называется стационарной. Такие точки мы рассмотрим особо.

4.16.3. Экстремумы функции

Пусть = 0, а  0. Тогда вблизи точки

Так как  0, то знак разности f (x) –   всецело определяется знаком второй производной :

Аналогично рассматривается случай, когда

Здесь вблизи точки x₀

(4.16.3)

Неизменность знака правой части равенства (4.16.3) возможна лишь в том случае, когда m — четное число. Поэтому справедлив следующий вывод: если наименьший порядок m производной, отличной от нуля в точке , является четным, то в точке функция имеет экстремум (при > 0 — минимум, при ) < 0 — максимум). Если m — нечетное число, то экстремума в точке не будет (рис. 4.16.2).

Пусть, например, требуется найти экстремум функции

.

Для решения этой задачи последовательно вычисляем

;

;

Результат можно было предвидеть, если учесть, что .

4.16.4. Выпуклость и вогнутость кривой

Рассмотрим кривые, изображенные на рис. 4.16.3. Пусть для произвольной точки М лежащей на кривой, построена касательная к этой кривой. Если обозначить ординату точки на кривой через y_кр, а соответствующей (т.е. имеющей ту же абсциссу ) точки на касательной — через y_кас, то можно рассмотреть разность (4.16.4)

Если  > 0 для любых (a, b),  , то это означает, что на интервале (a, b) кривая лежит «не ниже» любой из своих касательных. Такая кривая называется вогнутой (выпуклой вниз) (рис. 4.16.3 а). Если  < 0, то кривая называется выпуклой (выпуклой вверх) (рис. 4.16.3 б).

Оказывается, что знак выражения (4.16.4) очень просто устанавливается с помощью формулы Тейлора:

(4.16.5)

Из (4.16.5) сразу следует, что при

откуда имеем

вогнутость ;

выпуклость .

4.16.5. Точки перегиба кривой

Точку, лежащую на кривой¹⁰ называют точкой перегиба, если она отделяет участок выпуклости кривой от участка вогнутости (рис. 4.16.4).

Если функция , т.е. дважды непрерывно дифференцируема, то по одну сторону от точки перегиба f ''(х) < 0, а по другую f ''(х) > 0. Следовательно, для абсциссы точки перегиба имеем =0. Таким образом, точки перегиба находятся среди точек с такими абсциссами , для которых = 0 или не существует.

Это условие является необходимым, но не достаточным. Достаточное условие состоит в том, чтобы производная f "(x) при переходе через значение изменяла свой знак.

Очевидно, что кривая в точке перегиба переходит с одной стороны касательной на другую, т.е. величина должна изменять свой знак. Поскольку

то

Если 0, то и  изменяет знак при переходе х через значение , т.е. имеем точку перегиба с абсциссой .

Если =0, , то  знака не изменяет и точки перегиба не будет:

Отсюда ясно, что достаточное условие точки перегиба состоит в том, что младшая из производных , отличных от нуля, имеет нечетный порядок. Это согласуется с уже выполненным анализом стационарных точек: если m — четное, то в стационарной точке будет экстремум, если m — нечетное, то стационарная точка отвечает точке перегиба.

П р и м е р

.

Находим абсциссы возможных точек перегиба:

.

Проверяем это значение:

,

т.е. = 0 отвечает точке перегиба.