- •4.12. Кривизна плоской кривой. Эволюта и эвольвента
- •4.13. Формула Тейлора7
- •Вопросы
- •4.14. Остаточный член формулы Тейлора в форме Лагранжа
- •4.15. Представление некоторых функций по формуле Тейлора
- •4.16. Приложения формулы Тейлора к исследованию функций
- •4.16.1. Главная часть бм
- •Вопросы
- •4.16.2 Возрастание и убывание функции
- •4.16.3. Экстремумы функции
- •4.16.4. Выпуклость и вогнутость кривой
- •4.16.5. Точки перегиба кривой
- •Вопросы
- •4.17. Формула Тейлора для числовой функции нескольких переменных
- •4.18. Локальные экстремумы функции нескольких переменных
- •4.19. Аппроксимация опытных данных по методу наименьших квадратов
- •4.20. Производная скалярного поля по направлению. Градиент
- •Вопросы
- •Задание для самостоятельного решения
- •4.21. Понятие о приближенных методах поиска локальных экстремумов
- •4.21.1. Релаксационный13 метод
- •4.21.2. Градиентный метод
- •4.21.3. Метод крутого восхождения (наискорейшего спуска)
- •4.21.4. Метод последовательного поворота симплекса
- •4.22. Условные экстремумы числовой функции нескольких переменных
- •4.23. Глобальные экстремумы числовой функции нескольких переменных
- •Задание для самостоятельного решения
- •4.24. Формулировка задачи линейного программирования
- •4.25. Понятие о задачах нелинейного и целочисленного программирования
- •4.26. Дифференциал и производная вектор-функции скалярного аргумента
- •Задание для самостоятельного решения
- •4.27. Кривизна пространственной кривой
- •Вопросы
- •Задание для самостоятельного решения
Вопросы
Каковы главные части БМ, определяемые с помощью формулы Тейлора:
1) cosx – 1; 2) sinx – x; 3) ln (1+ x) – x; 4) (l + x)а–1–аx ?
Задание для самостоятельного решения
1. Вычислить пределы с помощью выделения главной части функций по формуле Тейлора:
4.16.2 Возрастание и убывание функции
Пусть 0, тогда
Таким образом, в окрестности точки произвольная функция аппроксимируется линейной функцией, причем степень аппроксимации тем выше, чем х ближе к . Отсюда ясно, что при > 0 функция в окрестности точки возрастает, а при < 0 убывает (рис. 4.16.1). Если = 0, то точка называется стационарной. Такие точки мы рассмотрим особо.
4.16.3. Экстремумы функции
Пусть = 0, а 0. Тогда вблизи точки
Так как 0, то знак разности f (x) – всецело определяется знаком второй производной :
Аналогично рассматривается случай, когда
Здесь вблизи точки x0
(4.16.3)
Неизменность знака правой части равенства (4.16.3) возможна лишь в том случае, когда m — четное число. Поэтому справедлив следующий вывод: если наименьший порядок m производной, отличной от нуля в точке , является четным, то в точке функция имеет экстремум (при > 0 — минимум, при ) < 0 — максимум). Если m — нечетное число, то экстремума в точке не будет (рис. 4.16.2).
Пусть, например, требуется найти экстремум функции
.
Для решения этой задачи последовательно вычисляем
;
;
Результат можно было предвидеть, если учесть, что .
4.16.4. Выпуклость и вогнутость кривой
Рассмотрим кривые, изображенные на рис. 4.16.3. Пусть для произвольной точки М лежащей на кривой, построена касательная к этой кривой. Если обозначить ординату точки на кривой через yкр, а соответствующей (т.е. имеющей ту же абсциссу ) точки на касательной — через yкас, то можно рассмотреть разность (4.16.4)
Если > 0 для любых (a, b), , то это означает, что на интервале (a, b) кривая лежит «не ниже» любой из своих касательных. Такая кривая называется вогнутой (выпуклой вниз) (рис. 4.16.3 а). Если < 0, то кривая называется выпуклой (выпуклой вверх) (рис. 4.16.3 б).
Оказывается, что знак выражения (4.16.4) очень просто устанавливается с помощью формулы Тейлора:
(4.16.5)
Из (4.16.5) сразу следует, что при
откуда имеем
вогнутость ;
выпуклость .
4.16.5. Точки перегиба кривой
Точку, лежащую на кривой10 называют точкой перегиба, если она отделяет участок выпуклости кривой от участка вогнутости (рис. 4.16.4).
Если функция , т.е. дважды непрерывно дифференцируема, то по одну сторону от точки перегиба f ''(х) < 0, а по другую f ''(х) > 0. Следовательно, для абсциссы точки перегиба имеем =0. Таким образом, точки перегиба находятся среди точек с такими абсциссами , для которых = 0 или не существует.
Это условие является необходимым, но не достаточным. Достаточное условие состоит в том, чтобы производная f "(x) при переходе через значение изменяла свой знак.
Очевидно, что кривая в точке перегиба переходит с одной стороны касательной на другую, т.е. величина должна изменять свой знак. Поскольку
то
Если 0, то и изменяет знак при переходе х через значение , т.е. имеем точку перегиба с абсциссой .
Если =0, , то знака не изменяет и точки перегиба не будет:
Отсюда ясно, что достаточное условие точки перегиба состоит в том, что младшая из производных , отличных от нуля, имеет нечетный порядок. Это согласуется с уже выполненным анализом стационарных точек: если m — четное, то в стационарной точке будет экстремум, если m — нечетное, то стационарная точка отвечает точке перегиба.
П р и м е р
.
Находим абсциссы возможных точек перегиба:
.
Проверяем это значение:
,
т.е. = 0 отвечает точке перегиба.