- •Содержание.
- •Введение
- •Модели систем массового обслуживания
- •Предметная область теории телетрафика
- •Информационные процессы и конфликты обслуживания
- •Основные определения теории систем массового обслуживания
- •Модели потока требований
- •Нестационарный пуассоновский поток.
- •Примитивный поток.
- •Поток с ограниченным последействием.
- •Поток Эрланга
- •Поток освобождений серверов.
- •Модели систем массового обслуживания.
- •Математическое введение в теорию цепей Маркова. (Markov’s chain )
- •Классификация систем массового обслуживания.
- •Формула Литтла (Little).
- •Анализ систем массового обслуживания с марковскими потоками требований.
- •Система м/m/1. Анализ.
- •Cистема с конечным накопителем: m/m/1:n
- •Система с несколькими серверами: m/m/m
- •Система обслуживания с m серверами и с явными потерями: m/m/m:Loss
- •Система обслуживания m/m/m:k/m конечное число источников нагрузки, m серверов и конечный накопитель.
- •Система типа m/m/m:m.
- •Вероятность занятия серверов.
- •Сравнительные характеристики моделей Эрланга и Энгсета
- •Примеры анализа систем связи.
- •Системы с неполнодоступным включением серверов.
- •Основы марковской теории сетей массового обслуживания.
- •Анализ систем массового обслуживания без явных потерь.
- •Анализ сетей массового обслуживания с блокировками. Метод вероятностных графов Ли.
- •Анализ и оптимизация коммутационных систем
- •Анализ систем с произвольным законом распределения времени обслуживания
- •Сравнение характеристик качества обслуживания в сетях с коммутацией каналов и коммутацией пакетов.
- •Анализ времени доставки сообщений в сети с коммутацией каналов.
- •Анализ времени доставки сообщений в сетях с коммутацией пакетов.
- •Анализ характеристик каналов с интеграцией речи и данных
- •Метод производящих функций
- •Модели интеграции речи и данных.
- •Интеграция на основе обслуживания в порядке поступления.
- •Интеграция с абсолютным приоритетом.
- •Интеграция на основе стратегии подвижной границы.
- •Система типа g/g/1.
- •Анализ систем массового обслуживания с приоритетами
- •Дисциплины обслуживания. Модель с приоритетами.
- •Основная модель расчета среднего времени ожидания
- •Дисциплины обслуживания с приоритетами, зависящими от времени
- •Оптимизация назначения приоритетов
- •Список используемой литературы.
Сравнение характеристик качества обслуживания в сетях с коммутацией каналов и коммутацией пакетов.
Анализ времени доставки сообщений в сети с коммутацией каналов.
В качестве важного практического примера применения методов теории телетрафика рассмотрим анализ передачи данных по сети с коммутацией каналов.
Передача данных по сетям с коммутацией каналов осуществляется в три фазы - установление соединения, передача данных, разъединение соединения. Для реализации этих процессов применяется система сигнализации. На рис. 4.1 показаны упрощенно сигнальные сообщения, которыми обмениваются абоненты и коммутационные узлы в процессе передачи.
Рис. 4.1 Сигнализация в сети с коммутацией каналов.
Передача сигнализации может осуществляться как по специальному общему для всех коммутируемых каналов каналу сигнализации (ОКС), так и в полосе речевого сигнала, т.е. по тем же соединительным линиям, по которым передаются информационные сообщения. Рассмотрим сначала именно этот случай. Найдем время установления соединения, которое будет являться функцией нагрузки в сети, длины управляющих и информационных сообщений, интенсивности передачи сигнальных сообщений и данных (скорости передачи), а также числа каналов (соединительных линий) предоставленных для связи. Рассмотрим модель сети с коммутацией каналов в виде системы обслуживания, в которой вызовы ожидают освобождения каналов, а не блокируются. Отбросим на этом этапе проблему маршрутизации, предположив сеть полносвязной. На рис. 4.2 показана модель СМО, соответствующая сделанным предположениям. Два узла коммутации А и В связаны между собой Nканалами (СЛ) с пропускной способностьюСL,бит/с. Пусть это также и скорость передачи по абонентскому шлейфу . С этой скоростью данные будут передаваться по каналу после установления соединения. Вызовы от абонентских устройств поступают на узел А и находятся в очереди пока не станет свободным хотя бы одна СЛ до узла В. На рис. 4.3 показаны все составляющие времениТс–времени установления соединения от момента передачи сообщения запроса передачи до момента приема сообщения о начале передачи. Временем на соединение узла В и получателя пренебрегаем. Показанные отрезки времени требуется для передачи каждого из сигнальных сообщений, обработка в узлах А и В требует в каждом случае среднее время M<Тр>.Среднее время ожидания в очереди в узле А до освобождения одного изNканалов обозначеноM<W>.
Рис. 4.2 Пара узлов в полносвязной сети с коммутацией каналов; модель системы обслуживания; сигнализация по разговорному каналу.
Рис. 4.3 Составляющие времени установления соединения.
Теперь примем для простоты, что каждое сигнальное сообщение имеет одну и ту же длину и требует времени передачи Тs . Время передачи сообщения о соединении примем равнымТI. При таком упрощении время соединения равно:
.
Для расчета среднего времени ожидания M<W>воспользуемся моделью системы обслуживания типа M/M/N с бесконечной длиной буфера иNсерверами. Предположение о пуассоновском распределении потока вызовов является, как правило, адекватным в задачах со многими абонентами, допущение о показательном распределении времени обслуживания существенно более грубое, однако описание времени обслуживания статистикой общего вида сильно усложнит задачу.
Пусть интенсивность потока вызовов в узел А равна λ, а среднее значение времени обслуживания – 1/μ. Тогда можно использовать модель M/M/N со следующими характеристиками интенсивностей переходов
Здесь n- состояние СМО, т.е. число установленных соединений, включая обслуживаемый вызов. Решение уравнений равновесия для данной системы было дано ранее. Введя параметрρ=λ/(μN),стационарные вероятности состояний определяются как
Теперь можно определить все необходимые характеристики качества обслуживания. Найдем сначала вероятность того, что сообщение будет задержано в системе, т.е. заявка не найдет свободного сервера. Очевидно, что эта вероятность равна
.
Мы ранее получали эту формулу в несколько ином виде ( явно выписывая вероятность p0) . Эта формула известна как С - формула Эрланга: .
Обратите внимание, что вторым аргументом в С - формуле Эрланга используется полная нагрузка на пучок каналов, а не удельная нагрузка ρ<1. Будем для определенности обозначать далее полную нагрузкуA=ρN. Эта нагрузка, конечно, также измеряется в Эрлангах.
Рассмотрим пример.
Пусть нагрузка на узел λ/μ=0.8 Эрл и в одном случае узел имеет один исходящий каналN=1, а в другом – пять (N=5). Вычислим С(1,0.8)=0.8 и С(5.0.8)=0.0018. Таким образом, применение пяти каналов вместо одного сокращает вероятность задержки более чем в 400 раз.
Найдем теперь среднее число сообщений, ожидающих обслуживание. Оно равно разности между средним числом сообщений в системе и средним числом сообщений, находящихся на обслуживании
.
В качестве подтверждения правильности сделанного вывода можно найти значение среднего числа ожидающих сообщений для N=1. Оно получится в точности таким, как было выведено ранее для СМО типа M/M/1.
.
Теперь найдем среднее число сообщений, находящихся в системе M<n> и число сообщений, находящихся в обслуживанииM<s>. Вычисление показывает, что
Пользуясь формулой Литтла теперь можно найти задержку в узле M<T>и среднее время ожидания для сообщения М<W>:
Для иллюстрации вернемся к рассмотренному ранее примеру. ПустьА=0.8 Эрл. ПриN=1 получим, что среднее время ожидания составитM<W>=1/μ(0.8/0.2)=4(1/μ), а средняя задержкаM<T>=5(1/μ).При среднем времени занятия канала1/μ=0.1c получимM<W>=0.4c, M<T>=0.5c . Если теперь увеличить число исходящих каналов до пяти, то при тех же предположениях будем иметьM<W>=0.0004(1/μ)= 40 мс. Таким образом, применение многоканальной системы резко снижает время ожидания обслуживания.
С другой стороны интересен вопрос о целесообразности разделения одного канала фиксированной пропускной способности на несколько менее производительных каналов.
Пусть имеется канал с пропускной способностью 9600 бит/c и нужно решить, стоит ли разделить его на 5 отдельных каналов по 1920 бит/с. Предположим, что 1/μ=10 мс, т.е. сообщения имеют среднюю длину 192 бита. Средняя задержка при нагрузкеА=0.8 при пяти каналах будет равна:
M<W>=10-2C(5,0.8)/(5-0.8)= 0,1 сек
Если же использовать один канал со скоростью передачи 9600 бит/с, значение среднего времени ожидания будет равно:
M<W>=0,024сек
Что существенно меньше. Таким образом, канал с большей пропускной способностью предпочтительнее, чем составляющие его каналы с меньшей пропускной способностью для передачи некоторого заданного объема пакетов данных.
В случае передачи сообщений по сети с коммутацией каналов собственно время передачи данных ТМ представляет собой только одну из составляющих и для определения величины среднего времени обслуживания1/μнеобходимо учитывать все составляющие времени занятия канала. Обозначим далее среднее значение этого полного времени занятия канала
Tн=1/μ=4Ts+TI+4M<Tp>+TM
Эта формула соответствует временной диаграмме занятия канала, изображенной на рис.4.4 в предположении, что все сигнальные сообщения имеют одну и ту же длительность Ts.
Рис. 4.4 Составляющие времени занятия; пример рис. 2.
С уже сделанной оговоркой о предположении экспоненциальности распределения этого времени (из формулы видно, что это сумма случайных величин), будем использовать полученное ранее соотношение для расчета среднего времени ожидания обслуживания
Введем величину, определяющую параметр удельного полезного использования канала ρM=λTM/N. Этот параметр отличается от обычного коэффициента использованияρ=λTH/N, который не различает время на передачу информационного сообщения и время на передачу сигнализационных сообщений.
Рассмотрим зависимость нормированного времени установления соединения в сети с коммутацией каналов TC /TMот параметра удельного полезного использования канала при различных длительностях передачи сигнальной информации. Примем для определенности время передачи сообщения о соединенииTI=0.1TM. ОбозначимTsig– время для передачи всех других сигнальных сообщений (4Ts). Пусть узел имеетN=10 исходящих каналов. На рисунке 4.5. приведены два графика, позволяющие проанализировать некоторые характерные черты сети с коммутацией каналов. Графики построены для двух случаев – когда время для передачи сигнальных сообщенийTsigразличаются в десять раз. Как видно из графиков, такое различие приводит к разным предельным значениям параметра полезного использования канала от 0.67 до 0.88 при меньших в десять раз длительностях сигнальных пакетов. Также видно, что увеличение нагрузки на узел сначала медленно, а затем резко увеличивает время установление соединения, причем сокращение сигнальных сообщений в любом случае уменьшает это время.
Рисунок 4.5. Нормированное время распределения соединения; N = 10 каналов T1=0.1TM