6. Система типа m/m/m:m.

Как видно из обозначения, мы рассматриваем систему, имеющую одинаковое число входных линий и обслуживающих серверов, например выходных линий. Очевидно, что блокировка в такой системе невозможна. Диаграмма интенсивностей переходов состояний может быть представлена в виде совокупности несвязных mпростейших подсистем с двумя состояниями – свободно/занято. ( Рис. 1.20)

Рис. 1.20 Диаграмма интенсивностей переходов состояний для СМО типа M/M/m:m.

Вероятности того, что kподсистем находятся в состоянии «занято», описывается формулой Энгсета:

.

Нетрудно видеть, что в этом случае в знаменателе записан бином Ньютона, и формула для вероятностей может быть существенно упрощена:

Полученное распределение вероятностей носит название биноминального или распределения Бернулли. Величинаaопределяет вероятность занятости сервера, а величина (1-a)– вероятность его простоя. Поскольку таких серверовm, то распределение вероятностей будет таким же, как для классической задачи о бросанииmмонет. Следует отметить также что

4. Вероятность занятия серверов.

Найдем теперь вероятность занятия определенных, выбранных заранее серверов. Эта задача часто встречается при определении нагрузки на определенные выходы в коммутаторах каналов телефонных сетей. Будем исходить из того, что в результате применения модели Эрланга или Энгсета или Бернулли найдены вероятности занятия любых kсерверовp_k .

Зафиксируем определенные iсерверов изm доступных. Предположим, что занятие серверов происходит равновероятно. Тогда если в системе с вероятностьюзанято точноi + jсерверов, то вероятность занятия одной конкретной комбинации будет в число таких сочетаний раз меньше, т.е..

Поскольку отмеченные iсерверов могут быть заняты совместно с любыми другимиjсерверами в соответствующем числу сочетаний изmпоjкомбинациях, гдеjлюбое число от 0 доm-i, то можно получить формулу для вероятности занятия фиксированныхiсерверов в системе сMвходами:

.

Для модели Эрлангатогда получим:

.

Для модели Энгсета формула будет отличаться:

.

Для системы с одинаковым числом входов и выходов (серверов) имеет место модель Бернуллии соответствующие вероятности занятия фиксированных серверов будут:

.

5. Сравнительные характеристики моделей Эрланга и Энгсета

Мы будем сравнивать модели по получаемым с их помощью характеристик качества обслуживания (QoS).

Напомним сразу, что входной поток в модели Эрланга полагается Пуассоновским λ_n=λа в модели Энгсета – примитивнымλ_n=(M-n) .

• Вероятность потерь по времени

Это вероятность занятости всех m серверов в системе при интенсивности нагрузки на входе А для модели Эрланга и максимальной нагрузке МА для модели Энгсета.

Модель Эрланга Модель Энгсета

• Вероятность потерь вызова

Это отношение средних интенсивностей потоков потерянных и поступивших вызовов, т.е. вероятность того, что поступивший вызов застает систему в заблокированном состоянии.

Обозначим вероятности того, что вызов поступает при условии, когда система заблокирована (условная)

безусловную вероятность поступления вызова

вероятность блокировки

вероятность потери вызова

Из известных соотношений теории вероятностей имеем:

.

Модель Эрланга.

Вероятность попадания вызова на заблокированную систему не зависит от состояния системы и в результате вероятность потери вызова совпадает с вероятностью блокировки по времени:

.

Модель Энгсета.

Здесь для примитивного потока можно записать вероятности через интенсивности

Последняя строка задает среднюю интенсивность вызовов по всем состояниям. Теперь вероятность потерь вызова может быть записана через интенсивности и далее вычислена через функцию Энгсета:

Как видно,.

Если рассмотреть предел при стремлении числа входов к бесконечности, так что суммарная интенсивность потока останется постоянной, т.е.,, то модель Энгсета превратится в модель Эрланга.

• Интенсивность обслуженной нагрузки

Модель Эрланга Модель Энгсета

• Интенсивность потенциальной нагрузки

Модель Эрланга Модель Энгсета