Анализ сетей массового обслуживания с блокировками. Метод вероятностных графов Ли.
Рассмотренный выше марковский подход к анализу сетей массового обслуживания позволяет рассчитать вероятности состояний для сетей, состоящих из узлов, каждый из которых есть СМО типа M/M/m. При этом предполагается, что каждый узел содержит бесконечный накопитель, и все заявки будут обслужены через некоторое время. Другой постановкой задачи является анализ сети с узлами, в которых может быть СМО с блокировкой заявок. Часто такими СМО выступают коммутационные схемы, имеющие конечные пучки соединительных линий. Другой моделью являются сети с множественным доступом к фиксированному числу каналов. Рассмотрим в качестве примера (рис.1.31) подключение сельского абонента С через абонентскую линию с блокиратором к сельской АТС в пункте В, которая в свою очередь имеет два канала связи с АТС в пункте А. Требуется определить вероятность блокировки звонка абоненту С из пункта А. Поставим в соответствие рассматриваемой сети так называемый вероятностный граф (граф Ли), с вершинами А, В и С и ребрами a,b,c соответствующими потокам заявок. Будем называть их далее звеньями, и параметризовать значениями некоторых вероятностей их занятия.
Рис. 1.31 Подключение абонента С с абонентом А через АТС в пункте В.
Метод Ли состоит в том, что вероятность блокировки пути между любыми вершинами графа может быть рассчитана как вероятность совместного занятия всех соединяющих эти вершины звеньев в предположении, что вероятности занятия каждого из звеньев независимы.
Вероятность совместного занятия может быть рассчитана с помощью известных теорем теории вероятностей для сложных событий.
Обозначим вероятности занятия
звеньев a,b,c
соответственно
.
Вероятности того, что звено свободно можно найти как
.
Вероятность блокировки пути
АВ будет
определяться как совместная вероятность
занятости a
и b:
.
Вероятность свободности
этого пути:
.
Общая вероятность свободности пути АС будет
.
Тогда вероятность блокировки пути АС будет
.
Граф, рассмотренный здесь, относится к классу параллельно-последовательных. Для расчета вероятностей таких графов в общем случае применяются простые правила, сведенные ниже в таблицу:
|
Вероятность занятости (блокировки) |
wi=1-qi |
|
Вероятность свободности (неблокированности) |
qi=1-wi |
|
Параллельное включение звеньев |
w=w1w2w i…wn |
|
Последовательное включение звеньев |
q=q1q2qi…qn |
Бывают случаи, когда граф сети не сводится к параллельно-последовательным схемам. Например, мостиковый граф (рис. 1.32)
Рис. 1.32 Мостиковый граф.
Для такого графа можно получить вероятность блокировки пути АВ в виде
.
Графы типа приведенных выше часто встречаются при анализе многозвенных коммутационных схем. Там они имеют более сложный вид, например как на рис. 1.33 и 1.34.
Рис. 1.33 Пример параллельно – последовательного графа.
Рис. 1.34 Пример параллельно – последовательного графа.
Для этих графов можно получить явные выражения для вероятности блокировки пути АВ
В том случае, если граф получается слишком сложным, можно пользоваться методом оценочных графов. Строится граф оценки сверху путем разделения вершин и отбрасывания ребер для упрощения расчета и граф оценки снизу путем объединения части вершин. Рассчитываются вероятности блокировки для оценочных графов, которые и будут служить соответственно верхней и нижней границей, между которыми и будет лежать значение вероятности блокировки для исходного графа.