Материалы Четвертой конференции «Математическое моделирование в экологии» ЭкоМатМод-2015, г. Пущино, Россия

КЛАСТЕРИЗАЦИЯ В МОДЕЛЯХ МЕТАПОПУЛЯЦИЙ

Кулаков М.П.1

1Институт комплексного анализа региональных проблем ДВО РАН, Биробиджан, Россия k_matvey@mail.ru

Аннотация: Данное исследование посвящено исследованию феномену кластеризации, возникающему в моделях миграционно-связанных популяций (метапопуляций). Показано, что формирование и трансформация кластеров имеет бифуркационную природу, а усложнение динамики реализуется через каскад удвоения периода и рождение сложной иерархии мультистабильных режимов.

1. Постановка задачи

Изучение сложной динамики распределенных популяций животных или метапопуляций часто приводит к необходимости использования в качестве моделей их динамики системы или решетки связанных отображений. Для чего, непрерывный плоский ареал представляется системой примыкающих друг к другу субареалов, с проживающими в них локальными популяциями (субпопуляциями), которые связанны между собой миграционными переходами. Динамика каждой локальной популяции может быть описана одномерным рекуррентным уравнением, а миграционная связь представлена аддитивными членами к каждому уравнению. В этом случае мгновенное значение численности каждой одиночной популяции складывается из динамики всех субпопуляций, с кем она непосредственно связана. В этом случае динамика метапопуляций будет намного более сложная, чем у одиночной локальной популяции или биологического сообщества. Такие системы способны демонстрировать как синхронную динамику между отдельными субпопуляциями или синхронную в большой группе субпопуляций, так и несинхронную между всеми локальными популяциями или несинхронную между группами. Вообще, образование групп синхронных элементов – доменов синхронной динамики, или кластеров является одним из интереснейших феноменов динамики связанных колебательных элементов. Исследованию этого явления и посвящена данная работа.

Если пронумеровать, каким либо образом, каждую локальную популяцию от 1 до N и через xn(i) обозначить численность в i -м (i =1, 2, , N ) очаге в дискретный момент времени

n , то уравнения пространственной динамики распределенной популяционной системы можно записать в виде системы глобально-связанных отображений:

репродуктивный потенциал i-й популяции, то есть скорость её максимально возможного годового воспроизводства в отсутствии лимитирования. В случае, когда все субареалы равны, равными оказываются и соответствующие границы. Следовательно, все коэффициенты миграции оказываются равными m, кроме явно нулевых для несвязанных

N

субпопуляций, и кроме mi,i =1− ∑m j,i . Коэффициент mi,i указывает на вклад локальной

j=1

динамики, определяемой одиночным уравнением Рикера, в динамику i-го элемента после его взаимодействия со всеми остальными, и равен доли особей оставшихся в i-й субпопуляции

после эмиграции.. В этом случае все a(i) в (1) также будут равны.

90

Материалы Четвертой конференции «Математическое моделирование в экологии» ЭкоМатМод-2015, г. Пущино, Россия

2. Результаты

При исследовании систем вида (1) очень важной оказывается задача описания условий и механизмов синхронизации и десинхронизации динамики каждой из ее фазовых переменных, а так же образование групп синхронных осцилляторов (кластеров). В ходе исследования системы (1) было обнаружено, что формирование подобных групп или кластеров однозначно, хотя и достаточно не тривиально, определяется начальным

распределением особей по ареалу x0(i) (i =1, 2, , N ). Изначально неравные плотности

каждой субпопуляции не всегда приводят к формированию несинхронной динамики всех локальных популяций, а равные начальные плотности не гарантируют когерентной (полностью синхронной) динамики всех субпопуляций (Кулаков, 2015), особенно при различных видах связи (диссипативная или инерциальная) и их комбинациях (Кулаков, 2013).

На рисунке 1 приведены бассейны некоторых кластеров, возникающие в системе (1)

= = x0(100), т.е. исследуются два кластера, состоящие из 70 и 30 субпопуляций. Полученные

области указывают на начальные условия, приводящие к той или иной динамики кластеров. Примечательно, что такие жестко зафиксированные начальные условия в некоторой части фазового пространства приводят к кластерам с иными размерами (рисунок 1в) или даже трем кластерам (рисунок 1б).

Рисунок 1 – (а) Бассейны притяжения некоторых фаз кластеризации системы (1) для ареала квадратной формы состоящей из 100 субпопуляций, (б-в) примеры динамики

кластеров, при a =14 и m = 0.01

Исследование сценариев потери устойчивости системы (1) показало, что формирование и трансформация кластеров имеет бифуркационную природу. Усложнение динамики идет через образование несинхронных режимов и их дальнейшее удвоение. В результате динамические режимы системы (1) представлены сложной иерархии мультистабильных режимов.

Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 14-01-31443 мол_а и № 15-29-02658 офи_м.

Литература

Кулаков М.П., Фрисман Е.Я. Бассейны притяжения кластеров в системах связанных отображений // Нелинейная динамика. 2015. Т. 11. № 1. С. 51-76.

Кулаков М.П., Аксенович Т.И., Фрисман Е.Я. Подходы к описанию пространственной динамики миграционносвязанных популяций: анализ синхронизации циклов // Региональные проблемы. 2013. Т. 16. № 1. С. 5- 14.

91

Материалы Четвертой конференции «Математическое моделирование в экологии» ЭкоМатМод-2015, г. Пущино, Россия

ОЦЕНКА ВЛИЯНИЯ ЗАГРЯЗНЕНИЯ СЕРОЙ ЛЕСНОЙ ПОЧВЫ ОРГАНИЧЕСКИМИ АЗОТСОДЕРЖАЩИМИ КОМПОНЕНТАМИ РАКЕТНОГО ТОПЛИВА

Курочкина Г.Н.

Учреждение Российской Академии наук Институт физико-химических и биологических проблем почвоведения, Пущино, Россия

colloid41@rambler.ru

Аннотация: В модельном эксперименте методом ЭПР - спектроскопии установлено влияние токсичнного компонента ракетного топлива - несимметричного диметилгидразина (НДМГ) на парамагнитную активность гумуса серой лесной почвы. Проведен математический анализ указанного влияния. Полученные данные показали, что построенная регрессионная модель зависимости интенсивности спектра ЭПР от дозы НДМГ в изученном интервале концентраций лучше согласуется с экспериментом, чем стандартная полиномиальная модель.

Введение

Главной экологической функцией почвы в биосфере является функция катаболизма – окислительно-восстановительный процесс трансформации сложных органических веществ. К числу таких веществ относится основной и наиболее токсичный компонент ракетного топлива - несимметричный диметилгидразин (НДМГ), относящийся к классу органических аминов и обладающий сильными восстановительными свойствами.

Цель работы - В модельном эксперименте с помощью метода ЭПР - спектроскопии установить влияние концентрации НДМГ на парамагнитную активность гумуса серой лесной почвы и провести математический анализ этого влияния.

Объекты и методы

Исследования проводили на серой лесной почве Московской области, верхнеокского района. Использовали пахотный горизонт (0-20 см) серой лесной почвы, имеющей следующие физико-химические характеристики: содержание гумуса, %: 2.3±0.05; рН солевой – 5.5±0.07; гидролитическая кислотность, мг-экв./100 г: 2.4±0.09; сумма обменных оснований, мг-экв./100 г: 17.8±0.52; физическая глина, %: 37.4±0.31; физический песок, %: 62.6±0.31; частицы менее 0.001 мм,%: 14.3±0.28). В качестве загрязняющих веществ использовали несимметричный диметилгидразин, а также его аналоги – азотсодержащие органические основания (моноэтаноламин, тетраметилендиамин).

Результаты и обсуждение

Ранее нами (Курочкина и др., 1999, Курочкина и др., 2006, Курочкина, Гайдалович, 2010, Курочкина, 2013) была разработана математическая модель зависимости интенсивности спектра ЭПР от концентрации компонента ракетного топлива (НДМГ) для зональногенетического ряда почв Убсу-Нурской котловины. Были использованы различные способы обработки результатов с помощью компьютерной системы «MAPLE» и «Mathcad» :

1)сплайнами третьей степени, f(x)

2)аппроксимацией многочленами 4-й степени методом наименьших квадратов (полином)

P4(x),

3)функциональной аппроксимацией методом наименьших квадратов, при этом функцию

92

Материалы Четвертой конференции «Математическое моделирование в экологии» ЭкоМатМод-2015, г. Пущино, Россия

подбирали по характеру изменения интенсивности спектра ЭПР при увеличении дозы НДМГ. Как видно, установленная функция h(x) состоит из показательных, гиперболического слагаемых и локона Аньези.

Эффективность методов полинома p(x) п. 2) и функции h(x) п.3) оценивалась с помощью величины:

i=1

равной сумме квадратов уклонений опытных данных от теоретических, где хi – доза НДМГ, Н(хi) – значение аппроксимирующей функции, zi – соответствующее значение интенсивности спектра ЭПР, с – значение концентрации, при которой достигается максимум интенсивности для 4-го слагаемого.

Выявлено, что для всех типов почв Убсу-Нурской котловины, определяющим слагаемым в моделирующей функции является второе показательное слагаемое, задающее основную закономерность снижения интенсивности в зависимости от дозы НДМГ, однако для каждой отдельной почвы ее характерные особенности определяются другими слагаемыми этой функции.

В данной работе при проверке полученной математической модели (1) влияния доз НДМГ на интенсивность спектра ЭПР континентальной серой лесной получены следующие результаты:

1. Полиномиальная регрессия, n = 4.

f(x)=46.242-17.691x-14.117x2+7.288x3-0.573x4 (3)

Средняя дисперсия

Как видно из отношения (7) и рис.1. полученные результаты на серой лесной почве - объекте, не относящегося к Убсу-Нурским образцам, подтвердили эффективность модели, разработанной на материале Убсу-Нурских почв. Так вышеприведённые вычисления показали, что уклонение модельной интенсивности от экспериментальной, измеряемой средней дисперсией, почти в 6 раз меньше уклонения при стандартной полиномиальной регрессии, что имеет практическое значение для использования разработанной модели для других почв России при загрязнении их НДМГ или его аналогами.

Таблица 1. Статистическая оценка математической модели для серой лесной почвы

R – индекс корреляции, k1 , k2 – степени свободы соответственно равны 3 и n – 4, F – крите-

рий Фишера, найденный по формуле k2R2/k1 (1 – R2), Fкритич. – критические значения распределения Фишера-Снедекора при уровне значимости α = 0.05.

93

Материалы Четвертой конференции «Математическое моделирование в экологии» ЭкоМатМод-2015, г. Пущино, Россия

xi,t

Рис.1. Зависимость интенсивности спектра ЭПР от концентрации НДМГ для серой лесной почвы при различных способах моделирования –

•••••••••••• опытные данные

_ _ _ _ полином 4-ой степени

. . . . . . . . . . функция

Таким образом, проведен математический анализ указанного влияния, и смоделирована функциональная зависимость интенсивности спектра ЭПР от концентрации компонента ракетного топлива. Полученные данные показали, что построенная регрессионная модель зависимости интенсивности спектра ЭПР серой лесной почвы от дозы НДМГ в изученном интервале концентраций лучше согласуется с экспериментом, чем стандартная полиномиальная модель, что представляет практический интерес.

Литература

Курочкина Г.Н. Оценка влияния загрязнения почв токсичным компонентом ракетного топлива – несимметричным диметилгидразином. Материалы III конференции «Математическое моделирование в экологии» Эко-МатМод. 2013. Пущино. С 139.

Курочкина Г.Н., Гайдалович В.Г. Анализ влияния концентрации несимметричного диметилгидразина на почвы Убсу-Нурской котловины. // Агрохимия. 2010. № 5. С. 59-71.

Курочкина Г.Н., Гайдалович В.Г., Хакимов Ф.И. Парамагнитная активность органического вещества почв Уб- су-Нурской котловины // Почвоведение. 2006. № 7. С. 812-823.

Курочкина Г.Г., Керженцев А.С., Соколов О.А. Физико-химическое исследование загрязнения почв компонентами ракетного топлива. // Почвоведение. 1999. №3. С. 359-369.

94