7.2. Предел применимости формула Эйлера. Эмпирические формулы для критических напряжений

Формула Эйлера справедлива лишь при больших гибкостях, превышающих некоторое предельное значение, при котором на­пряжения в стержне достигнут предела пропорциональности s_пц:

s_кр = p²Е/l_пред² = s_пц, откуда l_пред = (p²Е/s_пц)^1/2 (66)

Рис. 59

Для стержней из малоуглеродистой стали формула Эйлера справедлива при гибкостях более l_пред = 100, для деревянных стержней l_пред = 75, для чугунных стержней l_пред = 80 и т. п.

На практике приходится иметь дело со сжатыми стержнями, гибкость которых меньше предельной. В таких случаях формулу Эйлера использовать нельзя. Для расчета сжатых стерж­ней, когда формула Эйлера оказывается неприменимой, приходится пользоваться эм­пирическими формулами.

Ф. С. Ясинский, обрабо­тав опытные данные ряда ис­следователей, дал следую­щую формулу для вычисле­ния критического напряже­ния в стальных стержнях:

s_кр = а - bl (67)

где а и b - коэффициенты, характеризующие качество материала.

Значения этих коэффициентов приводятся в технических справочниках.

Для стали марки СтЗ при гибкости 60 £ l £ 100 формула Ясинского имеет вид

s_кр = (304- 1.2l) Н/мм².

Когда критическое напряжение, вычисленное по формуле, оказывается выше предела текучести s_т, опасна не потеря устойчивости, а появление значительных остаточных деформаций. В этом случае под критическим напряжением следует понимать пре­дел текучести, т. е. s_кр = s_т; это имеет место для стальных стерж­ней малой гибкости при l < 60.

На рис. 60 приведен график, характеризующий зависимость критического напряжения от гибкости для стержней из стали СтЗ.

Стержни, для которых справедлива формула Эйлера, назы­вают стержнями большой гибкости. Стержни, для которых спра­ведлива формула Ясинского, называют стержнями средней гиб­кости. Наконец, в случае, когда критические напряжения, вы­численные по формуле Ясинского, превышают предел текучести, имеем стержни малой гибкости. Для них критические напряжения также приравнивают пределу текучести.

Для тех случаев, когда формула Эйлера неприменима и кри-­ тическое напряжение определяют по эмпирическим зависимостям, допускаемую сжимающую силу вычисляют по формуле

[F] =s_кр А /[n_y]. (68)

Пример 11. Определить допускаемую сжимающую силу для чугунной ко­лонны длиной l = 3 м с одним защемленным концом, а другим - свободным. Сечение колонны - кольцо, наружный диаметр d_н = 200 мм, внутренний d_в = 160 мм. Модуль продольной упругости для чугуна Е = 10⁵ Н/мм², требуемый коэффициент запаса устойчивости [n_y]= 5.

Решение. Вычислим осевой момент инерции поперечного сечения ко­лонны

J » 0,05d_н⁴(1 - a⁴) = 4700×10⁴ мм⁴,

где

a = d_в /d_н = 160/200 = 0,8.

Площадь сечения колонны

А = p(d_н² - d_в²) = 113×10² мм².

Радиус инерции сечения

i = (J/A)^1/2 = 4700×10⁴/(113×10²) = 64,2 мм.

Расчетная длина колонны при m = 2 (см. рис. 57, б)

ml = 2 × 3000 = 6000 мм.

Гибкость колонны

ml/i = 6000/64,2 = 93,5 > l_пред.

Следовательно, расчет данной колонны можно вести по формуле Эйлера

[F] = F _кр/[n_y] = p²ЕJ/[(ml) ²n_y] = 3.14²×10⁵×4700×10⁴/(6000²×5) = 254×10³ H = 254 кН.

Упражнение 17

1. Какую форму принимает ось сжатого стержня, если сжимающая сила больше критической?

А. Прямолинейную. Б. Криволинейную.

2. Зависит ли критическая сила от упругих свойств материала стержня?

А. Зависит. Б. Не зависит.

3. Как изменится критическая сила, если длину стержня увеличить в два раза?

А. Уменьшится в два раза, Б. Уменьшится в четыре раза. В. Уменьшится в восемь раз.

4. Как изменится критическая сила, если шарнирные опоры концов стержня заменить опорами с жестким защемлением?

А. Увеличится в четыре раза. Б. Уменьшится в четыре раза.

5. Вычислите гибкость стержня круглого поперечного сечения диаметром d = 6 см. Длина стержня l = 120 см, концы закреплены шарнирно.