5.4. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов по характерным точкам

На основе примеров, разобранных в предыдущем параграфе, мож­но сделать выводы о взаимосвязи между нагрузкой и очертани­ями эпюр поперечных сил и изгибающих моментов. Ниже эти выводы сформулированы следующим образом.

1. На участках, где изгибающий момент постоянен (чистый изгиб, см. рис. 37) поперечная сила равна нулю.

2. На участках, свободных от загружения равномерно-рапределенной нагрузкой: поперечная сила постоянна, а изгибающий момент изменяется по линейному закону, т.е. по прямой (см. рис. 43 и 45).

3. На участках, загруженных равномерно-распределенной нагрузкой, поперечная сила изменяется по линейному закону, а изгибающий момент по параболе, выпуклость которой направ­лена навстречу нагрузке (см. рис. 44 и 46).

4.В точках приложения сосредоточенных сил на эпюре по-­ перечных сил имеют место скачки, равные по значению силам, а на эпюре моментов - переломы, направленные навстречу силам (см. рис. 43 и 45).

5.В точках приложения сосредоточенных пар сил на эпюре моментов возникают скачки, равные моментам пар (см. рис. 42).

6. В точках, где поперечная сила равна нулю (Q = 0), значе­- ние момента принимает экстремальное значение - максимальное или минимальное на рассматриваемом участке.

Указанные закономерности позволяют упростить построения эпюр поперечных сил и изгибающих моментов (в сложнозагруженных балках) и обойтись без составления уравнений для каждого участка.

Достаточно вычислить ординаты эпюр для характерных сечений и соединить их линиями в соответствии с изложенными выше правилами. Характерными являются сечения балки, где прило­жены сосредоточенные силы и моменты (включая опорные сече­ния), а также сечения, ограничивающие участки с равномерно распределенной нагрузкой.

Для определения максимальных значений изгибающих момен­тов дополнительно подсчитываются моменты в сечениях, где по­перечные силы равны нулю. Построение эпюр без составления урав­нений дает особенно значительный эффект для балок, нагруженных сложной нагрузкой, имеющих много участков нагружения.

Изложенные в настоящем параграфе правила должны служить основным способом построения эпюр, так как трудоемкость вычислений при этом

Рис. 47

меньше по сравнению с построением эпюр по уравнениям.

Пример 8. Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов для балки, изображенной на рис.47, а.

Решение. Определяем опорные реакции:

åМ_A = 0; q×3a×0,5a + F×2a + M - R_B×4a = 2×3× 0,5 + 2×2 + 5 - R_B×4 = 0

åМ_B = 0; -q×3a×3,5a - F×2a + M - R_A×4a = - 2×3× 3,5 - 2×2 + 5 + R_A×4 = 0,

откуда

R_B = 12/4 = 3 кН; R_A = 20/4 = 5 кН.

Для проверки правильности определения опорных реакций составляем сумму проекций всех сил, приложенных к балке, на вертикальную ось у:

åF_y= 0; -q×3a + R_A -F + R_B = 0; -23 + 5-2 + 3 = 0.

Опорные реакции найдены правильно.

Характерными являются крайняя точка О, опорные сечения А и В и точки приложения нагрузок D и Е. Вычисляем значения поперечных сил в сечениях, проходящих через указанные точки (рис. 47, б).

В сечении О: Q = 0.

В сечении А слева Q_А ^лев = - qa = -2 кН; на консоли эпюра поперечных сил ограничена наклонной прямой. В сечении А справа Q_А ^прав = - qa + R_A = = - 2 + 5 = 3 кН; здесь имеет место скачок, равный R_A = 5 кН.

В сечении D слева Q_D ^лев = - Зqа + R_A = - 3∙2 + 5 = -1 кН. В сече­нии D справа Q_D ^прав = -3qa + R_A - F =-3∙2 + 5 - 2 = -3 кН. В сечении D эпюра Q имеет место скачок, равный приложенной силе F = 2 кН.

На участке AD, как и на консоли ОА, эпюра поперечных сил ограничивается наклонной прямой, так как на обоих участках действует равномерно распределен­ная нагрузка. Наклон прямых на участках ОА и AD одинаков в связи с равной интенсивностью распределенной нагрузки. Поперечная сила в некоторой точке С принимает нулевое значение Q = 0. Это сечение также является характерным, так как здесь изгибающий момент должен принять экстремальное максимальное значение. Из подобия треугольных элементов эпюры на участке AD нетрудно определить, что точка С лежит на расстоянии 1,5а от опоры А или 0,5а от сечения D.

В сечении В поперечная сила отрицательна и численно равна R_В = 3 кН. Эпюра поперечных сил построена на рис. 47, б.

Переходим к построению эпюры изгибающих моментов (рис. 47, в).

В сечении О: М = 0.

В сечении А: М_А = -qа² = -2∙1²/2 = - 1 кН∙м; на консоли эпюра моментов изображается параболой, как на участке, загруженном равномерно-распределенной нагрузкой.

В сечении С: М_С = -[q(2,5а)²]/2 + R_A∙1,5a = -2∙2,5²/2 + 5∙1,5 =

= 1,25 кН∙м. Это значение момента является максимальным на участке AD, на эпюре моментов в этом сечении имеет место перегиб. Эпюра моментов ограничена параболой.

В сечении D: M_D = - q∙3a∙l,5a + R_A∙2a = -2∙3∙1,5 + 5∙2=1 кН∙м.

В точке Е, где приложена сосредоточенная пара сил, вычисляем моменты слева и справа от пары сил. В сечении Е слева: M_E ^лев = -q∙3a∙2,5a + R_A∙За - F∙a = -2∙3∙2,5 + 5∙3 - 2∙1 = -2 кН∙м. В сечении Е справа: M_E ^прав =M_E ^лев + М = -2 + 5 = 3 кН∙м.

В сечении В: M_В = 0. На участках DE и ЕВ, свободных от распределенной нагрузки, эпюра моментов ограничена прямыми наклонными линиями; в сечении Е имеет место скачок, равный моменту приложенной пары М = 5 кН∙м.

Эпюра моментов построена на рис. 47, а. Наибольшее значение момент имеет в сечении Е (справа): М_mах = 3 кН∙м.

Упражнение 13

1. На рис. 48, а изображена балка, нагруженная сосредоточенными силами. На рис. 48, б и в приведены эпюры поперечных сил и изгибающих моментовВычислите значения ординат этих эпюр в характерных сечениях А, В, С, D, по­ставьте знаки.

Рис. 48

2. Могут ли быть скачки на эпюре изгибающих моментов, если балка нагружена сосредоточенными силами и распределенной нагрузкой?

А. Могут. Б. Не могут.

3. На рис.49, а изображена консольная балка, нагруженная сосредоточенной силой F и парой сил, момент которой равен М. Эпюра изгибающих моментов показана на рис. 49, б. Вычислите значения изгибающих моментов в сечении А, справа и слева от сеения В и в сечении С. Определите значение скачка на эпюре изгибающих моментов в сечении В и постройте эпюру поперечных сил.

Рис. 49

F=20xH

Рис. 50

4. На рис. 50, а изображена балка, нагруженная сосредоточенными силами. Определите, какая из приведенных на рисунке эпюр изгибающих моментов соот­ветствует нагружению балки.

А. Эпюра на рис. 50, б. Б. Эпюра на рис. 50, в. В. Эпюра на рис. 50, г.