7. Устойчивость сжатых стержней

7.1. Понятие о продольном изгибе

Вопрос об устойчивости приходится решать в случае сжатия стержня, размеры поперечного сечения которого малы по сравне­нию с длиной. При увеличении сжимающих сил прямолинейная форма равновесия стержня может оказаться неустойчивой, и стержень выпучится, ось его искривится. Это явление носит назва­ние продольного изгиба. Наибольшее значение сжимающей силы, до достижения которого прямолинейная форма равновесия стерж­ня является устойчивой, называется критической силой. При сжимающей силе меньше критической стержень работает на сжа­тие; при силе, равной критической, стержень работает на сжатие и изгиб. Даже при небольшом превышении сжимающей нагруз­кой критического значения прогибы стержня нарастают чрез­вычайно быстро, и стержень или разрушается в буквальном смысле слова, или получает недопустимо большие деформации, выводящие конструкцию из строя. Поэтому критическая сила должна рассматриваться как разрушающая нагрузка.

Допускаемая сжимающая сила должна быть в несколько раз меньше критической. Это условие устойчивости прямолинейной формы равновесия стержня можно представить в виде

[F] = F_кр/[n_y] (63)

Рис. 56 Рис. 57

где [F] - допускаемое значение силы, сжимающей стержень, F_кр - критическое значение сжимающей силы для рассчитывае­мого стержня; [n_у] - нормативный (требуемый) коэффициент запаса устойчивости.

Для стержня с шарнирно-закрепленными концами

F_кр = p²ЕJ_min/l (64)

Очевидно, что при потере устойчивости стержень изгибается в плоскости наименьшей жесткости, т. е. каждое из его попереч­ных сечений поворачивается вокруг той из главных осей, отно­сительно которой момент инерции минимален, поэтому в формулу Эйлера (64) входит величина J_min.

Шарнирное закрепление обоих концов стержня принято на­зывать основным случаем продольного изгиба. При других способах

Рис. 58

закрепления концов стержня можно получить формулу для кри­тической силы путем сопоставления формы изогнутой оси данного стержня с формой, которая получается у стержня с шарнирно-закрепленными концами.

Введем в формулу Эйлера приведенную длину стержня l_прив = ml, соответствующую картине деформирования (рис.56 и 57), тогда она примет вид

F_кр = p²ЕJ_min/ l_прив ² = p²ЕJ_min/(ml) ² (65)

где m - коэффициент приведения длины (рис. 58).

Нормальное напряжение в поперечном сечении сжатого стерж­ня, соответствующее критическому значению сжимающей силы, также называется критическим.

Определим критическое напряжение s _кр исходя из формулы Эйлера

s _кр = F_кр/А = p²ЕJ_min/[A(ml) ²].

Oтношение момента инерции к площади равно квадрату радиуса инерции: J_min/A = i_min². После подстановки этого значения формула критического напря­жения может быть переписана в следующем виде:

s _кр = p²Е i_min²/(ml) ²

или

s _кр = p²Е/[(ml)/ i_min] ² = p²Е/l².

Отношение l = ml/ i_min носит название гибкости стержня; как частное от деления двух величин, каждая из которых имеет размерность длины, гибкость выражается отвлеченным числом. Чем больше гибкость l, тем меньше критическое напряжение тем меньше критическая сила, которая вызовет продольный изгиб стержня.