Упражнение 11

1. 

   Какие нагрузки, расположенные слева от сечения /—/ балки (см. рис. 38), вызывают положительную

поперечную силу в этом сечении?

А. Сила R_A. Б. Нагрузки 2аq и М. В. Силы F и R_B.

2.Какие нагрузки, располо-­ женные слева от сечения /—/ балки (см. рис. 38) вызывают в нем поло-­ жительный изгибающий момент?

А. Сила r_А. Б. Распределён­ная нагрузка 2aq. В. Момент М.

На рис.41,а показана балка. Определите значения поперечной силы и изгибающего момента М в сечении, проведенном на расстоянии z = 1,5 от левой опоры. Вычисление произвести, отбро­сив сначала правую часть балки

Рис. 41

(рис.41,б), а затем - левую (рис. 41, в). Изменятся ли величина и знак поперечной силы и изгибающего момента, если они будут вы­числены по внешним силам, рас­положенным слева или справа от сечения?

А. Изменятся. Б. Не изменятся.

5.3. Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов

Рассмотрим ряд типовых примеров, содержащих наиболее часто встречающиеся случаи нагружения. Построим эпюры попереч­ных сил и изгибающих моментов для балки с защемленным кон­цом, нагруженной на свободном конце сосредоточенной парой сил с моментом М (рис. 42, а).

Для балок с одним защемленным концом при построении эпюр можно не определять опорные реакции. Проведя сечения, будем рассматривать равновесие той части балки, к которой при­ложены только внешние силы. Для балки, показанной на рис. 42, а, такой частью будет левая. В произвольном сечении балки на расстоянии z от свободного конца поперечная сила равна нулю (Q = 0), так как сумма проекций сил пары на любую ось равна нулю. Изгибающий момент в любом сечении равен внеш­нему моменту на свободном конце; он положителен, так как внеш­ний момент слева от сечения направлен по ходу часовой стрелки и балка изгибается выпуклостью вниз. Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов построены на рис. 42, б и в. Балка в рассмотренном примере испытывает

Рис. 42 Рис. 43

чистый изгиб, так как поперечная сила во всех ее поперечных се­чениях равна нулю. Эпюра моментов при чистом изгибе ограничи­вается прямой линией, параллельной оси балки.

Построим эпюры для балки с защемленным концом, нагружен­ной сосредоточенной силой на свободном конце (рис. 43, а). Здесь можно не определять опорных реакций. Проведем сечение и бу­дем рассматривать равновесие правой части балки, к которой при­ложены внешние силы (рис. 43, а). В любом сечении балки на расстоянии z от свободного конца поперечная сила постоянна, равна силе F и положительна, так как внешняя сила стремится опустить правую часть балки. Эпюра поперечных сил (рис. 43, б) ограничивается прямой, параллельной оси балки.

В произвольном поперечном сечении балки на расстоянии z от свободного конца изгибающий момент равен моменту внешней силы относительно центра этого сечения и отрицателен, так как эта сила изгибает балку выпуклостью вверх (стремится повернуть правую часть по часовой стрелке): M = -Fz.

Эпюра изгибающих моментов изображается здесь треуголь­ником (рис. 43, в). Наибольшего абсолютного значения изгибаю­щий момент достигает в сечении заделки. Поперечная сила в сечении заделки совпадает с опорной реак­цией, а изгибающий момент в этом сечении равен реактивному моменту. Этими условиями можно пользоваться для проверки правильности построения эпюр в балках с одним защемленным концом.

Рис. 44

В любом поперечном сече­нии балки на расстоянии z от свободного конца поперечная сила равна алгебраической сумме всех сил, действующих на левую часть, т. е. равнодействующей равномерно распреде­ленной нагрузки q на участке длиной z (Q = -qz); она отрица­тельна, так как нагрузка направлена слева от сечения вниз. Эпюра поперечных сил (рис. 44, б) представляет собой тре­угольник, который можно построить, зная две его точки. При z = 0 имеем Q = 0; при z = l значение Q = -ql. Наибольшая по абсолютному значению поперечная сила в сечении защемления

çQ ç = ql (37)

В произвольном поперечном сечении, проведенном на расстоя­нии z от свободного конца, изгибающий момент равен алгебраи­ческой сумме моментов всех сил, действующих на левую часть балки, т. е. моменту равнодействующей равномерно распределен­ной нагрузки, равной qz. Эта равнодействующая приложена на половине расстояния z, и плечо ее относительно проведенного се­чения равно z/2. Изгибающий момент в произвольном сечении

М = -qz (z/2) = -qz²/2.

Так как сила qz изгибает балку выпуклостью вверх, изгибаю­щий момент отрицателен.

Эпюра изгибающих моментов ограничена параболой (рис. 44, в). Давая различные значения абсциссе z, можно построить ее по точкам. При z = l М = 0, при z = l/2 М = -(ql²/8), при z = l М = -(ql²/2).

Наибольший по абсолютному значению изгибающий момент достигает в сечении защемления

çМç _max = ql²/2.

Построим эпюры для балки (рис. 45, а), лежащей на двух опо­рах и нагруженной силой. Составим уравнения равновесия и найдем опорные реакции:

åМ_В = 0; -Fb + R_Al = 0;

åМ_A = 0; -Fa - R_Bl = 0, откуда

R_A = Fb/l, R_B = Fa/l.

Разделим балку на два участка: первый АС, второй СВ, их границей является точка приложения силы Р. Поперечная сила в любом сечении на первом уча­стке равна реакции R_A; она по­стоянна по всей длине участка и положительна, так как сила R_A, действующая на левую часть, на­правлена вверх

Q₁ = r_a = Fb/l.

Рис. 45

Поперечная сила в любом се­чении на втором участке равна разности сил R_A и F и также по­стоянна по всей длине участка, но отрицательна

Q₂ = R_A - F = Fb/l - F = F(b - l)/l = -Fa/l .

Эпюра поперечных сил пока­зана на рис. 45, б. В сечении С, где приложена сила F, поперечная сила имеет скачок, равный значению F, и меняет знак на противоположный.

Выражение изгибающего момента в любом сечении на участке / при изменении z в пределах от z = 0 до z = а имеет вид

М₁ = R_Az = (Fb/l) z.

Этот момент положителен, так как сила R_A стремится повернуть левую часть вокруг сечения по часовой стрелке.

Полученное уравнение определяет прямую линию, которую можно построить по двум точкам: при z = 0, т. е. в сечении на левой опоре, М = 0; при z = а, т. е. в сечении под силой F, М₁ = Fab/l.

Изгибающий момент для любого поперечного сечения участка // при изменении z от z =адо z = l

М₂ = R_Az - F (z - а) = (Fb/l) z - F(z - a).

Знаки моментов поставлены в соответствии с приведенным выше правилом

Изгибающий момент на уча­стке // изменяется также по ли­нейному закону; найдем две точ­ки этой линии. При z = а, т. е. в сечении под грузом, M₂ = Fab/l; при z = l, т. е. в сече­нии на правой опоре, M₂ = 0. Эпюра изгибающих моментов построена на риc. 45, б.

Изги­бающий момент имеет наиболь­шее значение (М_шах = Fab/l) в том сечении, в котором попе­речная сила меняет знак.

Построим эпюры для двухопорной балки, к которой при­ложена равномерно распреде­ленная нагрузка интенсивно­стью q (рис. 46, а). Здесь для определения опорных реакций не нужно решать уравнений рав­новесия, так как по симметрии нагружения балки сразу можно найти

r_А = r_В = ql/2.

В произвольном поперечном сечении на расстоянии z от опо­ры А, рассматривая левую отсеченную часть, определяем попереч­ную силу

Q = r_А - qz = ql/2 - qz;

при z = 0 Q = ql/2; при z = l/2 Q = 0; при z = l Q = ql/2. Эпюра Q построена на рис. 46, б. Изгибающий момент в проведенном сечении

М = R_Az - qz(z/2) = (ql/2) z – qz²/2;

при z = О М = 0; при z = l/2 М = ql²; при z = l М = 0.

Рис. 46

В это уравнение z входит во второй степени, поэтому эпюра М изобразится параболой (рис. 46, в). Посередине балки при z = l/2 поперечная сила изменяет знак, и изгибающий момент имеет наибольшее значение М_таx = ql²/8.

Упражнение 12

1. Поперечные силы в сечениях на расстоянии z от концов балок выражены уравнениями: Q₁ = -F; Q₂ = -F + qz.

Какими линиями очерчены эпюры поперечных сил?

А. В обоих случаях наклонными прямыми линиями. Б. В первом случае - прямой, параллельной оси балки, во втором - прямой, наклоненной к оси балки.

2. Изгибающие моменты в сечениях на расстоянии z от концов балок выра­жены уравнениями: M₁ = R_Az; M₂ = М.

Какими линиями очерчены эпюры изгибающих моментов?

А. В обоих случаях наклонными прямыми линиями. Б. В первом случае - прямой, наклоненной к оси, во втором - прямой, параллельной оси.

3. Какой линией очерчена эпюра изгибающих моментов, если закон их из­менения по длине балки выражается уравнением

М = R_Az – qz²/2.