5.6. Расчеты на прочность при изгибе

Проверку прочности и подбор сечений изгибаемых балок обычно производят исходя из следующего условия: наибольшие нор­мальные напряжения в поперечных сечениях не должны пре­восходить допускаемых напряжений [] на растяжение и сжатие, установленных кормами или опытом проектирования для ма­териала балки.

Для балок из материалов, одинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию (сталь, дерево), следует выбирать сечения, симметричные относительно нейтральной оси (прямоугольное, круглое, двутавровое), чтобы наибольшие растягивающие и сжи­мающие напряжения были равны между собой. В этом случае условие прочности по нормальным напряжениям имеет вид

|  |_mах = М _mах / W_x  []. (45)

Ниже приведены формулы для вычисления моментов сопро­тивления некоторых сечений. Для прямоугольника

W_х = (J_x/0,5h) = bh²/6. (46)

Для круга

J_x = d⁴/64; h = d; W_х = (J_x/0,5d) = d³/32; (47)

приближенно для круга можно считать W_х = 0,1d³.

Для кольца

W_х = (d_н³/32)(1- ⁴),

где  = d_в/d_н - отношение внутреннего диаметра кольца к на­ружному.

Для балок, изготовленных из материалов, неодинаково сопро­тивляющихся растяжению и сжатию (например, из чугуна), выгодны сечения, не симметричные относительно нейтральной оси. В этом случае прочность по нормальным напряжениям про­веряют по формулам

_{р mах} = М_mаху_р / J_x  [_р]; (48)

_{с mах} = М_mаху_с / J_x  [_с],

где у_ри у_с - расстояния от нейтральной оси х до наиболее уда­ленных точек в растянутой и сжатой зонах сечения; [_р] и [_с] - допускаемые напряжения на растяжение и сжатие. Использование материала будет наилучшим, когда _{р mах} = [_р ], a _{с mах} = [_с ]; Для этого необходимо условие

у_р /у = [_р ]/ [_с ], (49)

т. е. расстояния нейтральной оси от наиболее удаленных точек в растянутой и сжатой зонах сечения должны быть пропорцио­нальны соответствующим допускаемым напряжениям.

Формула напряжений при изгибе выведена на основании за­кона Гука и потому справедлива только при напряжениях, не превышающих предела пропорциональности материала балки.

С помощью условия прочности по нормальным напряжениям при изгибе можно решать следующие три задачи.

1. Проверка прочности (проверочный расчет) производится в том случае, когда известны размеры сечения балки, наибольший изгибающий момент и допускаемое напряжение []. При этом непосредственно используется условие (45).

2. Подбор сечения (проектный расчет) производится в том случае, когда заданы действующие на балку нагрузки, т.е. можно определить наибольший изгибающий момент | М |_max и допускае­мое напряжение [].

Решая неравенство (90) относительно W_х, получаем

W_х  | М |_max /[]. (50)

По необходимому моменту сопротивления W_х, задавшись фор­мой сечения, подбирают его размеры.

3. Определение наибольшего допускаемого изгибающего момента производится в том случае, когда заданы размеры сечения балки и допускаемое напряжение

М_mах  []W_х. (51)

Наиболее выгодны такие формы сечений, которые дают наи­больший момент сопротивления при наименьшей площади. Та­кому условию в первую очередь удовлетворяет двутавровое се­чение, у которого почти весь материал отнесен от нейтральной оси к верхней и нижней полкам, что увеличивает момент инерции J_x, а соответственно и момент сопротивления W_x. Менее выгодно прямоугольное сечение; круглое сечение еще менее выгодно, так как оно расширяется к нейтральной оси. Полые сечения всегда выгоднее равновеликих им сплошных сечений.

Целесообразно применять сечения балок из прокатных про­филей: двутавров, швеллеров и т. п. В сортаменте для этих про­филей приводятся числовые значения всех необходимых геометри­ческих характеристик. Различные варианты расчета балок на прочность показаны на примерах.

Пример 9. Наибольший изгибающий момент в поперечном сечении балки М_mах = 37,5 кНм. Подобрать сечение стальной балки в трех вариантах: а) про­катный двутавр; б) прямоугольник с отношением высоты к ширине h : b = 4 : 3; в) круг.

Определить отношение массы балок прямоугольного и круглого сечения к массе балки двутаврового сечения. Допускаемое напряжение [] = 160 МПа.

Решение. Требуемый момент сопротивления

W_х  М_mах / [] = 37,510⁶/160 = 23410³ = 234 мм².

Подбираем сечение балки в трех вариантах.

1. Сечение - прокатный двутавр. По таблице ГОСТ 8239 - 72 подходит двутавровый профиль в № 20а. Его момент сопротивления W_x = 237 см³, пло­щадь сечения А = 35,5 см².

2. Сечение - прямоугольник с отношением сторон h : b = 4 : 3, для прямо­угольника W_x = bh²/6; подставив сюда b = 0,75h и приняв равным требуемому значению, получим

W_x = bh²/6 = 0,75W_x = hh²/6 = h³/8 = 234 см²,

откуда

h = (2348)^1/3 = 12,3 см; b= 3h/4 = 9,2 см.

Площадь сечения прямоугольника A₂ = bh =12,39,2 = 113 см².

3. Сечение - круг

W_x = 0,1d³ = 234 см³,

откуда

d = (234/0,1)^1/3 = 13,4 см.

Площадь круглого сечения

а₃ =  d²/4 = 141 см².

Отношение масс, равное отношению площадей сечений:

A₂ / A₁ = 113/35,5 = 3,18; A₃ / A₁ = 141/35,5 = 3,97.

Следовательно, балка прямоугольного сечения тяжелее двутавровой балки в 3,18 раза, а балка круглого сечения тяжелее двутавровой в 3,97 раза.

Упражнение 15

I. В каком из двух вариантов нагружения (рис. 55) двутавровая балка сможет выдержать большую силу F? Длина консолей l в обоих случаях одинакова.

А. По рис. 55, а. Б. По рис. 55, б. В обоих случаях балка может выдер­жать одинаковую нагрузку.

Рис. 55

2. Во сколько раз уменьшатся нормальные напряжения в прямоугольномсечении балки, если ее высота увеличится в два раза?

А. В два раза. Б. В четыре раза. В. В восемь раз.

3. По заданному изгибающему моменту при одинаковых допускаемых напряжениях были подобраны прямоугольные сечения балок в трех вариантах с разными соотношениями высоты h и ширины b; вариант I h : b = 2; вариант II h : b = 3; вариант III h : b - 2,5. Какая из балок будет иметь наименьшую массу?