.123.5. Дифракция Фраунгофера от щели.

Рис. 18

Пусть плоская волна падает перпендикулярно на экран со щелью шириной d (рис.18). Дифракционную картину будем наблюдать на экране в фокальной плоскости линзы. Т.к. в каждой точке фокальной плоскости линзы, например M, сходятся лучи, которые до линзы были параллельны между собой, то наблюдаемая здесь картина называется дифракцией в параллельных лучах.

Каждая точка щели будет являться источником вторичных волн. Из всех лучей, которые распространяются после щели, выберем только те, которые составляют угол  с первоначальным направлением, этот угол называется углом дифракции. На рисунке 18  оптическая разность хода лучей. Разобьем участок BC на отрезки, равные и из этих точек проведем прямые параллельные AC до пересечения с AB. Таким образом, мы разобьем фронт волны в щели AB на такое же число отрезков по , как и разность хода BC. Следовательно, щель AB мы разобьем на зоны Френеля, разность хода лучей от которых до точки M будет отличаться на .

Из геометрических построений получается . Число зон Френеля . Если z – четное число, то на отрезке AB укладывается четное число зон Френеля и свет от 2^х соседних зон приходит в точку M в противофазе и при наложении гасится. Следовательно, точка M освещена не будет. Если на отрезке AB укладывается нечетное число зон Френеля, то одна зона останется не погашена и точка M будет освещена.

Следовательно:

1. если - условие минимума освещенности при дифракции от одной щели;

2. если - условие максимума освещенности при дифракции от одной щели.

И

Рис. 19

так, если оптическая разность хода лучей равна четному числу полуволн, то наблюдается минимум освещенности точки M при дифракции от одной щели. Если оптическая разность хода лучей равна нечетному числу полуволн, то наблюдается максимум освещенности точки M при дифракции от одной щели.

Рассмотрим, что будет представлять дифракционная картина в данном случае (рис.19). Расчеты показывают, что дифракционная картина будет симметрична относительно центра линзы.

,

где J₀ – интенсивность в центре дифракционной картины, b – ширина щели.

Н

Справка 4.

Заметим, что при освещении щели параллельно экрану () дифракционная картина, наблюдаемая на экране, останется неподвижной (ее середина лежит напротив центра линзы). Напротив, смещение линзы при неподвижной щели сопровождается таким же смещением картины на экране.

апротив середины щели будет располагаться центральный или нулевой максимум, здесь будет наибольшая освещенность.

Боковые максимумы соответствуют уменьшению освещенности. Освещенность дифракционной картины убывает от центра к краям щели. Количество минимумов интенсивности определяется отношением ширины щели к длине волны . Условие минимума , т.к. , то . Откуда . При ширине щели меньше  минимумы вообще не возникают, и интенсивность света монотонно убывает от середины щели к ее краям.

Рис. 20

Краям центрального максимума соответствуют значения угла , получающиеся из условия . Эти значения равны . Поэтому угловая ширина центрально максимума равна . Когда d>>, то и тогда формула для угловой ширины центрального максимума упрощается и имеет вид: .

Установим теперь качественный критерий, позволяющий определить, какой вид дифракции будет иметь место в каждом конкретном случае.

Найдем разность хода лучей от краев щели до некоторой точки P (рис.20).

Нас интересует случай, когда лучи, идущие от краев щели в точку P, почти параллельны. Следовательно: и . В пределе при r получаем . При конечном r характер дифракционной картины будет определяться соотношение между разностью хода ( ) и длиной волны .

Если , то дифракционная картина будет практически такой же, как и в случае дифракции Фраунгофера. При будет иметь место дифракция Френеля. Эти же условия можно записать в другом виде, введя безразмерный параметр . И тогда

Параметр непосредственно связан с числом открытых зон Френеля.

Если щель открывает малую долю центральной зоны Френеля (m<<1), то наблюдается дифракция Фраунгофера. Если открывает небольшое число зон Френеля (m~1), то на экране получается изображение щели, обрамленное по краям отчетливо видимыми светлыми и темными полосами. В случае, когда щель открывает большое число зон Френеля (m>>1) на экране получается равномерно освещенное изображение щели.

Рис. 21

Итак, критерием применимости приближения геометрической оптики является не малость длины волны по сравнению с характерным размером преграды, а значение параметра (он должен быть >>1). Пусть, например, ; , однако 1, и поэтому на экране будет наблюдаться отчетливо выраженная Френелевская дифракция.