55. Местные напряжения. Концентрация напряжения

Многочисленные теоретические и экспериментальные исследования показывают, что в области резких изменений в форме упругого тела (входящие углы, отверстия, выточки), а также в зоне контакта деталей возникают повышенные напряжения с ограниченной зоной распространения, так называемые местные напряжения.

Например, при растяжении полосы с небольшим отверстием рис. 1, а) закон равномерного распределения напряжений вблизи отверстия нарушается. Напряженное состояние становится двухосным, а у края отверстия появляется пик напряжения. Аналогично при изгибе ступенчатого стержня (рис. 1, б) в зоне входящего угла возникает повышенное напряжение, величина которого зависит в первую очередь от радиуса закругления r. При прессовой посадке втулки на вал (рис. 1, в) у концов втулки и вала также возникают местные напряжения. Подобных примеров можно привести очень много.

Основным показателем местных напряжений является теоретический коэффициент концентрации напряжений:

где — наибольшее местное напряжение, а—так называемое номинальное напряжение Величина местных напряжений в зависимости от геометрической формы детали определяется обычно теоретически при помощи методов математической теории упругости.

Возле отверстий, выточек и других мест резкого изменения конфигурации детали возникает концентрация напряжений (рис. 14, 15).

Рис.14. Концентрация напряжений у отверстия

Рис.15. Концентрация напряжений у выточки

Отношение наибольшего напряжения в зоне концентрации к номинальному называется коэффициентом концентрации:

или

Номинальные напряжения рассчитываются по формулам сопротивления материалов.

Чем резче меняется форма тела, тем больше коэффициент концентрации напряжений.

Большие местные напряжения возникают также в зонах приложения сосредоточенных сил. Такие напряжения называются контактными.

56. Контактные напряжения. Формула Герца

Определение напряжений, возникающих в местах соприкосновения тел (контактных напряжений), является задачей теории упругости, и в курсе сопротивления материалов удается либо дать без вывода формулы для определения формы и размеров площадки контакта и напряжений в окрестности этой площадки, либо вывести простейшие формулы теории контактных напряжений, например формулы, определяющие площадку контакта, сближение центров шаров и напряжения в окрестности контакта двух шаров. Однако эта задача очень важна, особенно для машиностроения, и, вероятно, ничего не говорить о контактных напряжениях в курсе сопротивления материалов невозможно.

Начало теории контактных напряжений было заложено в работе Г.Герца [378], опубликованной в 1895 г. Им рассмотрены две задачи: первоначальное точечное касание деталей, например, касание двух шаров или шара и кольца в шарикоподшипнике и первоначальное касание по линии, например, касание двух цилиндров или ролика и кольца в роликоподшипнике. При этом предполагается, что материал деталей однородный, изотропный и упругий.

Для определения удельного давления между деталями с цилиндрическими поверхностями существует формула Герца, которая для пары вогнутой и выпуклой цилиндрических

поверхностей имеет вид

Pmax * E 1 1

C max = 0.418 * -----------*(--- - ---) 4.4.2

B R1 R2

где: R1 - радиус шейки, R2 - радиус втулки, R=R2-R1 - радиальный зазор,

E - приведенный модуль упругости

1 1 1

------ = ------ + -------- 4.4.3

E E1 E2

E1 - модуль упругости материала шейки,

E2 - модуль упругости материала втулки,

Поскольку R< 1 1 R

(--- - ---) = --------

R1 R2 R1**2

таким образом удельные контактные давления будут:

Pmax * E * R

C max = 0.418 * -------------- 4.4.4

B * R1

Эта формула дает способы, с помощью которых можно снизить контактное давление.

Соотношение удельного давления полученного по формуле 4.4.1 , полученного по формуле Герца 4.4.4 определяется так:

K max 1 P max

------- = -------- * ------------ 4.4.5

C max 2* 0.418 E* B* R

Если сопоставить эти величины для конкретных значений использованных в примерах, то получим С max/ Р max= 2.37, откуда видно, что контактные напряжения по Герцу больше максимальных значений, получаемых традиционным расчетом.