Міністерство освіти і науки,молоді та спорту України

Чернігівський Державний Інститут Економіки І Управління

Каферда вищої математики

Лабараторна робота №1

На тему: Однофакторна економетрична модель. Середньострокове прогнозування.

Варіант № 6

Виконала: студентка ІІ курсу

групи М-111

Феденко Тетяна Василівна

Перевірив: старший викладач

Михайленко Олексій Михайлович

Чернігів, 2012р.

Мета роботи: Побудувати однофакторну економетричну модель, навчитися визначати прогнозні значення функції та інтервали прогнозу, придбати навички рішення задач на ЕОМ, що описуються за допомогою однофакторної регресії.

Основні теоретичні відомості:

Для визначення й опису залежності між показниками на основі спостережень широко використовуються лінійні і нелінійні, однофакторні і багатофакторні регресійні моделі.

Модель - це спрощений чи наближений опис найважливіших сторін або характеристик досліджуваного об'єкта чи явища. Економіко-математична модель – це математичний опис об'єкта.

Прикладами задач економіки, моделей є: побудова лінії попиту, лінії пропозиції товару на ринку, залежність витрат на виробництво, динаміки продажів, виробничих функцій і так далі.

Вхідними даними для побудови економіко-математичних моделей є динамічні ряди даних. Динамічним рядом називається послідовність спостережень за процесом чи об'єктом у рівновіддалених проміжках часу.

Для побудови економіко-математичної моделі, яка описує деякі економічні процеси, провадиться аналіз рівнів динамічного рядуВін включає в себе визначенні абсолютних приростів значень функції, темпу росту, темпу приросту та ін.

Коли абсолютний приріст функції є величиною сталою, то,як правило процес можна описати за допомогою лінійної функції.

Коли абсолютний приріст змінюється на сталу величину (темп приросту – величина стала), то процес можна описувати (чи моделювати) параболічною функцією.

Коли поводження ряду неоднорідне (наприклад стабільний пропорційний ріст чи спад, постійна зміна рівня ряду з деякою швидкістю і так далі), у такому випадку можливе застосування для математичного опису декількох функцій, що вирівнюють цей ряд.

Як правило це:

1. рівняння прямої

b₀ + b₁t (1.1)

2. рівняння параболи другого порядку

b₀ + b₁t + b₂t² (1.2)

3. рівняння показникової функції

b₀b₁^t (1.3)

де b , b₁ , b₂ – параметри моделі (функції);

t – час

Коли поводження динамічного ряду не однозначне (що, як правило, видно при графічному відображенні процесу), варто провести порівняльний перебір рішень, визначити параметри моделей і вибрати найкращу з них. (Як правило в задачах представлені ряди даних кінцевої довжини, тому коректніше буде говорити про статистичні оцінки параметрів моделей.)

Параметри рівнянь регресії визначають на основі статистичних даних за допомогою методу найменших квадратів (1МНК). Цей метод припускає визначення “найкращих” серед всіх можливих значень параметрів які задовольняють критерію мінімізації суми квадратів похибок (відхилень значень функції від її теоретичних значень або оцінок) шляхом побудови і рішення системи нормальних рівнянь. Систему нормальних рівнянь отримують по стандартній методиці (див. Метод 1МНК) :

1. записати в аналітичній формі вираз для знаходження похибки е для даної функції;

2. знайти часткові похідні по шуканим параметрам для квадрату похибок і прирівняти їх до нуля

3. отримаємо систему рівнянь, розв”язавши яку відносно шуканих параметрів, отримаємо їх значення для відповідної моделі.

Для спрощення розрахунку параметрів функції (1.1 - 1.3) використовують спосіб відліку часу від умовного початку. Умовний час вибирається таким чином, щоб t = 0 і вводиться в такий спосіб: за нульове значення часу (початок осі координат умовного часу t приймають середній рівень динамічного ряду). Від цього рівня вправо і уліво відкладаються значення умовного часу від ± 1 до ± n/2, де n - число спостережень, число рівнів динамічного ряду.Якщо число рівнів динамічного ряду парне, то два середніх рівні ряду приймають значення відповідно –1 та +1, а інші рівні нумеруються з урахуванням знаку вправо і вліво до кінця вибірки.

Параметри b_k , визначені для кожної функції, дають можливість синтезувати відповідну модель , яка описує відповідний економічний процес Синтезована модель є аналітичною формою відповідної математичної залежності для даної задачі, або для даної вибірки значень функції. Підстановка в модель значень аргументів дозволить одержати розрахункові значення функцій або трендові рівні. Показником точності побудови рівняння регресії є стандартна похибка апроксимації, що визначається за формулою:

Постановка задачі:

Обсяг роздрібного товарообігу Чернігівського району з переходом до ринкових відносин по роках склав (див. Варіанти завдань до лабораторної роботи №1).

По представленим даним зробити синтезування трендової моделі товарообігу. Спрогнозувати обсяг товарообігу на найближчі 3 роки. Знайти точкові і інтервальні оцінки прогнозу, побудувати графік.

Порядок виконання роботи:

1. Зробимо аналіз зміни товарообігу

Таблиця 1.1

Рік	Товарообіг, y, млн. грн.	Абсолютний приріст, y	Темп росту, Ty, %
2001	42	0	0
2002	42,8	0,8	101,9
2003	43,6	0,8	101,9
2004	44,4	0,8	101,8
2005	45,7	1,3	102,9

Введемо умовний час для спрощення розрахунків

Таблиця 1.2

Рік	2001	2002	2003	2004	2005
Умовний час	-2	-1	0	1	2

Розрахункова таблиця

Таблиця 1.3

Роки	ti	ti^2	ti^4	yi	tiyi	ti^2yi	lgyi	tilgyi
2001	-2	4	16	42	-84	168	1,62	-3,2
2002	-1	1	1	42,8	-42,8	42,8	1,63	-1,6
2003	0	0	0	43,6	0	0	1,64	0,0
2004	1	1	1	44,4	44,4	44,4	1,65	1,6
2005	2	4	16	45,7	91,7	182,8	1,66	3,3
сума	—	10	34	218,5	9,3	438	8,20	0,1

Розраховуємо параметри лінійної моделі
a0=		=	43,7
a1=		=	0,93
		yi=43,7+0,93t