- •Как вычисляются основные числовые характеристики по результатам выборки: «группа средних». Объяснить на примерах.
- •1.3 Средние величины: средняя, средневзвешенная, мода Мо, медиана Ме. Показатели вариации: дисперсия, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.
- •14. Приведите примеры зависимых и независимых событий
- •16. Дайте возможные определения вероятности. Приведите примеры их использования.
- •17. Что такое относительная частота события, как она связана с вероятностью?
- •18. Что такое случайная величина (св)? Какие виды св известны?
- •26. В каких случаях применяют формулу Байеса? (Показать на примерах)
- •27. В каких случаях применяют формулу Бернулли? (Показать на примерах)
- •§ 1. Испытания Бернулли.
- •§ 2. Наивероятнейшее число успехов.
- •Если число np-q - дробное, то существует одно наивероятнейшее число m*;
- •Если число np-q - целое, то существует два наивероятнейших числа
- •28. В каких случаях применяют формулу Пуассона? (Показать на примерах)
- •29. Что такое функция распределения св? Что такое плотность вероятности св? Приведите ее свойства.
- •30. Как рассчитывается вероятность попадания св в определенный интервал с помощью функции распределения, с помощью плотности вероятности?
- •36 Что такое дерево вероятностей? Сформулируйте правила построения и проверки корректности дерева вероятностей?
- •37. Какая выборка называется репрезентативной? Каким образом можно извлечь репрезентативную выборку?
- •38. Какой интервал мы называем доверительным?
- •39 Что называется уровнем доверительности (confidence level)?
- •40. Какой из двух доверительных интервалов больше: двусторонний 99% или двусторонний 95%? Объясните.
§ 2. Наивероятнейшее число успехов.
Число m, при котором биномиальные вероятности Pn(m) достигают своего максимального значения (при фиксированном числе испытаний n) называют обычно наиболее вероятным (наивероятнейшим) числом успехов. Справедливо следующее утверждение о наивероятнейшим числе успехов:
Наивероятнейшее число успехов m* в серии из n независимых испытаний Бернулли (с вероятностью успеха р в одном испытании) определяется соотношением np-q£m*£np+p, причем
Если число np-q - дробное, то существует одно наивероятнейшее число m*;
Если число np-q - целое, то существует два наивероятнейших числа
m*=np-q, m*=np+p;
если np - целое число, то наивероятнейшее число m*=np.
Задача 3. Монета подбрасывается 3 раза. Найти наиболее вероятное число успехов (выпадений герба).
Решение. Возможными значениями для числа успехов в 3-х рассматриваемых испытаниях являются m = 0, 1, 2 или 3. Пусть Am - событие , состоящее в том, что при 3-х подбрасываниях монеты герб появляется m раз. По формуле Бернулли легко найти вероятности событий Am (см. таблицу):
-
m
0
1
2
3
Pn(m)
1/8
3/8
3/8
1/8
Из этой таблицы видно, что наиболее вероятными значениями являются числа 1 и 2 (их вероятности равны 3/8). Этот же результат можно получить и из приведенного выше утверждения.
Задача 4. Вероятность получения удачного результата при производстве сложного химического опыта равна ¾. Найти наивероятнейшее число удачных опытов, если общее их количество равно 10.
Решение. В этом примере n=10, p=3/4=0,75, q=1/4=0,25. Тогда неравенство для наиболее вероятного числа успехов выглядит так:
np-q£m*£np+p,
т.е. 10*0,75-0,25 £m*£10*0,75+0,75,
или 7,25£m*£8,25.
Существует только одно целое решение этого неравенства, а именно, m*=8.
28. В каких случаях применяют формулу Пуассона? (Показать на примерах)
Распределение Пуассона
Распределение Пуассона, подобно биномиальному распределению, связано с подсчетом количества наступления некоторого события. Отличие состоит в том, что в случае распределения Пуассона нет заданного числа возможных попыток n. Вот один из примеров возникновения такой случайной величины. Если некоторое событие происходит случайно и независимо в каждой из попыток и среднее число наступлений события с ростом числа попыток не изменяется, то количество наступлений события в фиксированном количестве попыток будет подчиняться распределению Пуассона. Распределение Пуассона — это распределение дискретной величины, которое зависит только от ожидаемого среднего количества наступлений события.
Приведем примеры некоторых случайных величин, которые могут иметь распределение Пуассона.
Количество заказов, которые фирма получит завтра.
Количество дефектов в произведенной продукции.
Биномиально распределенная величина X при больших n и малых p.
Вероятность для распределения Пуассона
,