14. Приведите примеры зависимых и независимых событий
Зависимые события - два события называются зависимыми, если вероятность появления каждого из них зависит от того, появилось другое событие или нет.
Независимые события - два события называются независимыми, если вероятность появления каждого из них не зависит от того, появилось другое событие или нет.
15. Что такое составное событие? Приведите примеры составных событий и их разложение на элементарные. (Сложение и умножение вероятностей)
Теоремы сложения и умножения вероятностей
Теорема. Вероятность появления одного их двух несовместных событий, неважно какого, равна сумме вероятностей этих событий, т.е.
.
Следствие. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1, т.е
.
Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления, т.е.
Пример1.
Если 25% покупателей предпочитают батончики «Биг-Байт», а 50% — «Труфл», тогда вероятность того, что покупатель предпочтет «Биг-Байт» или «Труфл», рассчитывается следующим образом.
Имеем: P («Биг-Байт») = 25% = 0.25.
Аналогично: P («Труфл») = 50% = 0.50.
Следовательно, так как эти события взаимно исключают друг друга, то: P («Биг-Байт» или «Труфл») - P («Биг-Байт») + P («Труфл») = 0.25 + 0.5 = 0.75 (или 75%).
Пример2.
При выборочной проверке качества 200 «домашних» кондитерских изделий компании «Даунбрукс» получены следующие результаты:
Качество: Высшее Приемлемое Брак
Количество изделий: 140 40 20
То есть, согласно этой выборке: P (Высшее) == 140/200 = 0.7.
Аналогично, Р (Приемлемое) = 40/200 = 0.2 и P (Брак) = 20/200 «=0.1.
Все три категории качества взаимно исключают друг друга. Таким образом, чтобы, например, рассчитать вероятность получения изделий высшего и приемлемого качества, необходимо:
P (Высшее или Приемлемое) = P (Высшее) + P (Приемлемое) = 0.7 + 0.2 = 0.9 (или 90%).
Пример3.
Предыдущий пример можно применить к иллюстрации дополняющих друг друга событий. Например, рассмотрим вероятность «получения брака» или «неполучения брака». Эти два события дополняют друг друга, так как одно или другое событие должно наступить. Кроме того, они взаимно исключают друг друга, так как не могут наступить одновременно: ведь невозможно одновременно получить изделие, которое и было бы бракованным и не было им! Таким образом, совокупная вероятность того, что получится брак и не получится брак, должна равняться 1 (100%). Это можно записать в следующем виде:
P (Брак или Не брак) = P (Брак) +P (Не брак) =1.
Следовательно, путем трансформации получаем:
P (Не брак) = 1 — P (Брак).
Возьмем значения из предыдущего примера: Р (Брак) = 0.1. Следовательно, P (Не брак) = 1 — 0.1 = 0.9 (или 90%). Данный пример иллюстрирует другое правило, которое в общем виде можно записать следующим образом:
P (не X) = 1 - Р (X).
То есть, если, например, вероятность получения изделий высшего качества равна 0.7, тогда вероятность получения изделий не высшего качества равна 1 - 0.7 = 0.3 (или 30%).