6. Приложения.
6.1. Образец решения контрольных задач типового варианта.
Раздел I. Аналитическая геометрия и линейная алгебра.
1-10.
Найти матрицу
,
если:
,
.
Решение:
1)
Транспонируем
матрицу
:
.
2)
Вычисляем
произведение матриц
:
.
3)
Находим
матрицу
:
.
4)
Находим
матрицу
:
.
Ответ:
.
11 – 20. Дана
система уравнений:
.
Требуется:
а) найти решение системы методом Крамера;
б) найти решение системы методом Гаусса.
Решение.
А) Метод Крамера.
1а) Вычисляем определитель системы и проверяем, что он отличен от нуля:
.
2а)
Так как
,
то система имеет единственное решение,
определяемое формулами Крамера:
3а)
Вычисляем
определители
:
,
,
.
4а)
Находим решение:
.
5а)
Выполняем
проверку:
.
Ответ:
.
Б) Метод Гаусса.
1б) Записываем расширенную матрицу системы:
.
2б) Выполняем прямой ход метода Гаусса.
В
результате прямого хода матрица системы
должна быть преобразована с помощью
элементарных преобразований строк к
матрице
треугольного или трапециевидного вида
с элементами
.
Система уравнений, матрица которой
является треугольной с элементами
,
имеет единственное решение, а система
уравнений, матрица которой
является трапециевидной с элементами
,
имеет бесконечно много решений.
.
В результате
элементарных преобразований матрица
системы преобразована к специальному
виду
.
Система уравнений, матрица которой
,
является треугольной с ненулевыми
диагональными элементами
,
имеет всегда единственное решение,
которое находим, выполняя обратный ход.
Если
при выполнение преобразования расширенной
матрицы
в преобразованной матрице
появляется строка
,
где
,
то это говорит о несовместности исходной
системы уравнений.
3б) Выполняем обратный ход метода Гаусса.
Записываем
систему уравнений, соответствующую
последней расширенной матрице прямого
хода:
и последовательно из уравнений системы,
начиная с последнего, находим значения
всех неизвестных:
.
4б) Выполняем проверку: .
Ответ: .
21
– 30. Даны
векторы
:
,
,
.
Требуется: а)
найти векторы
и
;
б) вычислить
скалярное произведение
;
в) найти
проекцию вектора
на направление вектора
;
г)
найти векторное произведение
и его модуль
.
Решение.
a) Находим векторы и :
=
;
=
.
б) Вычисляем скалярное произведение векторов :
.
в) Находим проекцию вектора на направление вектора :
.
г) Находим векторное произведение векторов :
и
вычисляем его модуль:
=
.
Ответ:
а)
=
;
=
;
б)
;
в)
;
г)
,
.
31-40.
Даны вершины
треугольника
:
,
,
Требуется сделать чертёж и найти:
а)
длину стороны
;
б) уравнение
стороны
;
в)
длину
высоты
;
г) площадь
треугольника
..
Решение. Сделаем чертёж:
а)
Длину
стороны
находим как
длину вектора
:
,
.
б)
Уравнение
стороны
находим как уравнение прямой, проходящей
через точки
и
,
и записываем его в виде общего уравнения
прямой:
.
в)
Длину
высоты
находим как расстояние от точки
до прямой
,
заданной общим уравнением
:
.
г)
Площадь
треугольника
находим по
формуле:
.
Откуда
.
Примечание.
Площадь
треугольника
можно найти и, используя геометрический
смысл векторного произведения векторов,
по формуле:
.
Учитывая, что
,
получим
.
Ответ:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.