![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Высшего профессионального образования
- •Г. Набережные Челны
- •1.Цель и задачи дисциплины, её место в учебном процессе.
- •2. Содержание и структура дисциплины.
- •Тема 5. Линии на плоскости.
- •Раздел II. Введение в анализ. Дифференциальное исчисление.
- •Тема 6. Множества. Числовые множества. Функции.
- •Тема 7. Числовые последовательности и ряды. Предел последовательности. Предел функции и непрерывность.
- •Тема 8. Производная и дифференциал функции.
- •Тема 9. Исследование функций с помощью производных, построение их графиков.
- •3. Рекомендуемая литература. Основная литература:
- •Дополнительная литература:
- •4. Методические указания по изучению дисциплины.
- •5. Материалы для контроля знаний студентов.
- •5.1. Задания для контрольной работы.
- •Раздел I. Аналитическая геометрия и линейная алгебра.
- •Раздел II. Введение в анализ. Дифференциальное исчисление.
- •Раздел III. Интегральное исчисление.
- •Раздел IV. Дифференциальные уравнения.
- •Раздел V. Теория вероятностей и математическая статистика.
- •5.2. Вопросы к экзамену.
- •Раздел I. «Аналитическая геометрия и линейная алгебра».
- •Раздел II. Введение в анализ. Дифференциальное исчисление.
- •Раздел III. Интегральное исчисление.
- •Раздел IV. Дифференциальные уравнения.
- •Раздел V. Теория вероятностей и математическая статистика.
- •6. Приложения.
- •6.1. Образец решения контрольных задач типового варианта.
- •Раздел I. Аналитическая геометрия и линейная алгебра.
- •Раздел II. Введение в анализ. Дифференциальное исчисление.
- •Раздел III. Интегральное исчисление.
- •Раздел IV. Дифференциальные уравнения.
- •Раздел V. Теория вероятностей и математическая статистика.
- •Для решения задач с использованием формул сложения и умножения вероятностей следует:
- •6.2. Краткие теоретические сведения.
- •Тема 1. Определители.
- •Тема 2. Матрицы.
- •Тема 3. Системы линейных алгебраических уравнений.
- •Тема 4. Векторы.
- •Тема 5. Линии на плоскости.
- •Тема 10. Множества. Числовые множества. Функции.
- •Тема 7. Числовые последовательности и ряды. Предел последовательности. Предел функции и непрерывность.
- •Тема 8. Производная и дифференциал функции.
- •Тема 9. Исследование функций с помощью производных, построение их графиков.
- •Тема 10. Неопределённый интеграл.
- •Тема 11. Определённый интеграл. Несобственные интегралы.
- •Основные свойства определённого интеграла:
- •Тема 12. Дифференциальные уравнения первого порядка.
- •Тема 13. Дифференциальные уравнения высших порядков.
- •Тема 14. Случайные события и их вероятности.
- •Тема 15. Случайные величины.
- •Тема 16. Элементы математической статистики. Предварительная обработка статистических данных.
- •6.3 Основные математические формулы.
- •6.4 Образец оформления обложки с контрольной работой. Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение
- •«Камская государственная инженерно-экономическая академия»
- •Набережные Челны
Тема 10. Неопределённый интеграл.
Функция
называется первообразной
для функции
на промежутке
,
если
для всех
.
Функция
может иметь различные первообразные,
но все они отличаются друг от друга
только постоянными слагаемыми. Поэтому
все первообразные для
содержатся в выражении
,
где
-
произвольная постоянная, которое и
называется неопределённым
интегралом
от функции
и обозначается
.
Таким образом, по определению
.
Операция нахождения первообразной или неопределённого интеграла от функции называется интегрированием этой функции. Функция для которой на промежутке существует первообразная или неопределённый интеграл называется интегрируемой на этом промежутке. Первообразная и неопределённый интеграл на промежутке существуют у любой непрерывной на этом промежутке функции. Нахождение неопределённого интеграла состоит в таком преобразовании подынтегрального выражения, чтобы получить интегралы из таблицы основных интегралов (приложение 6.3).
Основные свойства неопределённого интеграла:
1.
.
2.
.
3.
(
).
4.
.
5.
Если
,
то
,
.
Основными методами интегрирования являются: непосредственное интегрирование, интегрирование заменой переменной и по частям.
Непосредственным интегрированием (интегрированием методом разложения) функции называют отыскание неопределённого интеграла с помощью тождественных преобразований подынтегральной функции , свойств 3-4 неопределённого интеграла и таблицы основных интегралов.
Часто,
заменой переменной интегрирования
,
удаётся свести нахождение интеграла
к нахождению более простого интеграла
с последующей заменой
.
Очень часто применяют следующий способ замены переменной интегрирования:
,
где
-
некоторая дифференцируемая функция.
Функция
подбирается таким образом, чтобы
подынтегральное выражение приняло
более удобный для интегрирования вид.
Выбор её определяется конкретным видом
подынтегрального выражения.
Если и - дифференцируемые функции, то справедлива формула интегрирования по частям:
или
кратко
.
Эта
формула используется в тех случаях для
вычисления
,
когда подынтегральное выражение
можно так представить в виде
,
что интеграл
может оказаться проще интеграла
.
Этим
методом вычисляются: 1)
интегралы вида
,
,
,
,
причём в качестве
выбирается
;
2)
интегралы, подынтегральная функция
которых содержит в качестве множителя
одну из следующих функций:
,
,
,
,
,
,
причём в качестве
выбирается одна из указанных выше
функций. Указанные группы интегралов
не исчерпывают всех без исключения
интегралов, берущихся методом
интегрирования по частям.
Вычисление
интегралов вида
и
,
выделяя в квадратном трёхчлене
полный квадрат
и делая замену переменной интегрирования
,
сводят к вычислению табличных интегралов
(см. приложение
6.3) и
интегралов вида
и
,
которые сводят к табличным заменой
переменной
.
Тема 11. Определённый интеграл. Несобственные интегралы.
К
понятию определённого интеграла можно
прийти, решая задачу о вычислении площади
криволинейной трапеции, т.е. фигуры,
заключённой между прямыми
,
,
и кривой
.
Число, равное площади криволинейной
трапеции, причём площадь той части,
которая лежит выше оси
берётся со знаком «+», и ниже её – со
знаком «
»
и называется определённым
интегралом
от функции
на отрезке
.
Определённый интеграл обозначается
,
где числа
,
называются нижним
и верхним
пределами интегрирования.
Функция
,
для которой на отрезке
существует определённый интеграл,
называется интегрируемой
на этом отрезке. Достаточным
условием интегрируемости
функции
на отрезке
является её непрерывность на данном
отрезке. Если функция
интегрируема на
,
то, по определению, полагают
,
.