Лабораторна робота №9 Тема: " Метод найшвидшого спуску"

(2 години)

Ціль роботи: ознайомитися з градієнтними методами оптимізації, навчитися використовувати метод найшвидшого спуску на практиці.

Теоретичні відомості:

Градієнтні методи безумовної оптимізації.

Для задачі безумовної мінімізації метод полягає в обчисленні послідовності наближень x[s] за правилом

x[s+1] = x[s] – r[s] ÑF(x[s]),

де ÑF(.) — градієнт функції F(.), який задається співвідношенням

r[s]>0 — крок, величина якого визначається конкретним градієнтним методом. Початковий розв'язок x[0] обирається довільно. Iтерацiї припиняють, якщо на деякому кроці s виконується нерівність

||ÑF(x[s])|| < e,

де норма градієнта визначається формулою

а e>0 — деяка наперед задана величина, що визначає точність розв'язку.

Метод найшвидшого спуску.

Метод найшвидшого спуска є градієнтним методом зі змінним кроком. На кожній ітерації величина кроку _k вибирається з умови мінімуму функції f(x) у напрямку спуска, тобто

.

Ця умова означає, що рух уздовж антиградієнта відбувається доти, поки значення функції f (x) убуває. З математичної точки зору на кожній ітерації необхідно вирішувати задачу одномірної мінімізації по  функції

 ()=f (x^(k)-f (x^(k)))

Скористаємося для цього методом золотого перетину.

Алгоритм методу найшвидшого спуска полягає в наступному:

1. Задаються координати початкової крапки x⁽⁰⁾.

2. У крапці x^(k), k = 0, 1, 2, …, обчислюється значення градієнтаf (x^(k)).

3. Визначається величина кроку _k шляхом одномірної мінімізації по  функції

 ()=f (x^(k)-f (x^(k))).

4. Визначаються координати крапки x^(k):

x_i^(k+1)= x_i^(k)-_kf_i (x^(k)), i=1, …, n...

5. Перевіряється умова зупинки ітераційного процесу:

||f (x^(k+1))|| .

Якщо вона виконується, то обчислення припиняються. У противному випадку здійснюється перехід до п. 1.

Порядок виконання роботи:

1. Ознайомитися з теоретичними відомостями, щодо методу який розглядається;

2. Вибрати варіант завдання, згідно списку студентів підгрупи у журналі;

3. Написати програму в середовище Delphi з коментаріями;

4. За допомогою програми, виконати завдання, згідно варіанту;

5. Зробити висновки.

Варіанти завдань:

Методом найшвидшого спуска знайти значення мінімуму функції F(x)

якщо пошук починається із точки х₀.

1. F(x)=2x₁ – 3x₁x₂ – x₂ х₀=(1,3)

2. F(x)=x₁² ­- 3x₁x₂ - 2x₂ х₀=(-1,2).

3.F(x)=2 x₁ - 2x₁x₂ -5x₂ х₀=(4,3).

4.F(x)=2x₁- 3x₁x₂ - x₂ х₀=(2,4).

5.F(x)=3x₁-2x₁x₂+ 4x₂ х₀=(1,2).

6. F(x)=2x₁² -5x₁x₂+ 3x₂ х₀=(-2,1).

7. F(x)=3x₁² + x₂² - x₁x₂ x₀=(-2,1).

8. F(x)=2x₁² + 3x₁x₂ - x₂² x₀=(-1,2).

9. F(x)=4x₁² ­- 3x₁x₂ - 2x₂ х₀=(-1,1).

10.F(x)=2 x₁ -x₁x₂ -3x₂ х₀=(1,2).

Зміст звіту:

1. Титульний лист, згідно встановленого образка;

2. Основні теоретичні відомості;

3. Варіант завдання;

4. Вихідні данні

5. Код програми, яка реалізує даний метод;

6. Розв`язок з поясненнями;

7. Висновок.

Контрольні питання:

1. Що таке градієнт?

2. Що таке норма градієнта?

3. Які ще градієнтні методи ви знаєте?

4. Якими методами можна вирішити задачу одновимірної оптимізації?

5. У чому полягає алгоритм методу найскорішого спуску?