Тема: "Задача опуклого квадратичного програмування. Квадратичний симплекс-метод"

(2 години)

Ціль роботи: ознайомитися з задачами нелінійного програмування та методами їх розв`язання.

Теоретичні відомості:

Постановка задачі нелінійного програмування.

Знайти вектор x=(x₁,...,x_n), що мiнiмiзує (максимізує) функцію

F(x) = F(x₁,...,x_n) (14.1)

i задовольняє систему обмежень

G_i(x₁,...,x_n) R_i 0, i=1,...,m, (14.2)

де символ R_i замінює один із знаків £, =, ³.

Якщо хоча б одна з функцій F, G_i (i=1,...,m) є нелінійною, то вказана постановка визначає задачу нелінійного програмування (ЗНЛП).

Сукупність точок (векторів) x, що задовольняють (14.2), зветься допустимою областю (множиною) i позначається через D.

Довільна точка D зветься допустимим розв'язком (точкою, планом, вектором).

Функція F(x) співвідношення (14.1) зветься цільовою функцією.

Постановка задачі опуклого програмування.

Знайти вектор x=(x₁,...,x_n), що мiнiмiзує цільову функцію

F(x) = F(x₁,...,x_n) (14.3)

i задовольняє систему обмежень

G_i(x₁,...,x_n)£0, i=1,...,m, (14.4)

x_j³0, j=1,...,n, (14.5)

де функції F, G_i (i=1,...,m) — опуклі.

Таким чином, для задачі опуклого програмування (ЗОП) цільова функція (14.3) — опукла, обмеження (14.4)–(14.5) визначають опуклу допустиму множину.

Постановка задачі опуклого квадратичного програмування.

Знайти вектор x, що мiнiмiзує цільову функцію

F(x) = x D x^Т + c x^Т (14.6)

i задовольняє систему обмежень

A x^Т £ b^Т, x ³ 0, (14.7)

де c=(c₁,...,c_n), x=(x₁,...,x_n), D=||d_kl||, k,l=1,...n, A=||a_ij||, i=1,...,m, j=1,...,n, b=(b₁,...,b_m), матриця D симетрична та невід'ємно визначена.

Таким чином, для задачі опуклого квадратичного програмування (ЗОКП) цільова функція (14.6) — опукла квадратична, обмеження (14.7) — лінійні i визначають опуклу многогранну допустиму множину.

Зауважимо, що для випадку n=2, m=1 ЗОКП має вигляд:

d₁₁ x₁² + d₂₂ x₂² + 2 d₁₂ x₁ x₂ + c₁ x₁ + c₂ x₂ ® min,

a₁₁ x₁ + a₁₂ x₂ £ a₁₀, x_j ³ 0, j=1,2,

до того ж D=||d_kl||, k,l=1,2, d₁₂ = d₂₁.

Основні твердження.

Означення. Множина W зветься опуклою, якщо для довільних точок x,yÎW, та tÎ[0,1] виконується tx+(1–t)yÎW.

Означення. Функція H(x), xÎWÌEⁿ, де W — опукла множина, зветься опуклою, якщо для довільних точок x,yÎW та tÎ[0,1] виконується нерівність H(tx+(1–t)y)£tH(x)+(1–t)H(y).

Теорема. Множина {x:H(x)£0}, де функція H(x) — опукла, є опуклою.

Теорема. Перетин опуклих множин є опуклою множиною.

Теорема. Квадратична функція F(x)=xDx^Т+cx^Т опукла, якщо матриця D — невід'ємно визначена.

Теорема. Матриця D — невід'ємно визначена, якщо всі її діагональні мінори невід'ємні:

det(D(k))³0, D(k)=||d_ij||, i,j=1,...k.

Теорема Куна-Таккера-1.

Нехай допустима область D={xÎEⁿ:G_i(x)£0,i=1,...,m,x³0} задачі опуклого програмування (18.3)–(18.5) задовольняє умову Слейтера: існує xÎD таке, що для всіх i=1,...,m G_i(x)<0, тобто множина D має внутрішні точки.

Тоді для того, щоб вектор x* був оптимальним розв'язком задачі опуклого програмування, необхідно i достатньо, щоб існував вектор u*³0 такий, що пара (x*,u*) є сiдловою точкою функції Лагранжа:

L(x,u)= F(x)+(u₁ G₁(x) +...+ u_m G_m(x)),

x=(x₁,...,x_n)³0, u=(u₁,...,u_m)³0.

Кажуть, що точка (x*,u*) є сiдловою точкою функції L(x,u), якщо для всіх x³0, u³0 мають місце нерівності

L(x*,u) £ L(x*,u*) £ L(x,u*).

Теорема Куна-Таккера-2.

Для неперервно диференцiйовних функцій F(x), G_i(x), i=1,...,m, теорема Куна-Таккера може бути переформульована так.

Вектор x* є оптимальним розв'язком задачі опуклого програмування (14.3)–(14.5) тоді i лише тоді, коли існує вектор u*³0 такий, що для пари (x*,u*) виконуються умови:

Ñ_xL(x*,u*)³0, Ñ_xL(x*,u*)(x*)^Т=0, j=1,...,n,

Ñ_uL(x*,u*)£0, Ñ_uL(x*,u*)(u*)^Т=0, i=1,...,m.

Для задачі (14.6)–(14.7) опуклого квадратичного програмування останні співвідношення набувають вигляду

c+2xD+uA ³0, (14. 8)

(c+2xD+uA)x^Т=0, (14. 9)

xA^Т–b £0, (14.10)

(xA^Т–b)u^Т =0, (14.11)

x ³ 0, u ³ 0.

Допоміжна ЗЛП для ЗОКП.

Якщо ввести вектори y=(y₁,...,y_n)³0 та v=(v₁,...,v_m)³0, то співвідношення (14.8)–(14.11) матимуть вигляд:

c + 2 x D + u A – y = 0, (14.12)

x A^Т – b + v = 0, (14.13)

y x^Т = 0, v u^Т = 0, (14.14)

x ³ 0, u ³ 0, y ³ 0, v ³ 0.

Зауважимо, що для випадку n=2, m=1 матимемо

2 d₁₁ x₁ + 2 d₁₂ x₂ + a₁₁ u – y₁ = – c₁ ,

2 d₁₂ x₁ + 2 d₂₂ x₂ + a₁₂ u – y₂ = – c₂ ,

a₁₁ x₁ + a₁₂ x₂ + v = a₁₀ ,

x₁ y₁ = 0, x₂ y₂ = y₂, u v = 0,

x₁, x₂, u, y₁, y₂, v ³ 0.

Система (14.12)–(14.13) складається з n+m лінійних рівнянь відносно 2(m+n) невідомих x_j, y_j (j=1,...,n), u_i, v_i (i=1,...,m).

Крім того, як випливає з умов (14.14), повинно бути:

якщо x_j > 0, то y_j = 0, (14.15)

якщо y_j > 0, то x_j = 0, (14.16)

якщо u_i > 0, то v_i = 0, (14.17)

якщо v_i > 0, то u_i = 0. (14.18)

Отже, шуканим розв'язком системи (14.12)–(14.13) може бути довільний невід'ємний базисний її розв'язок, але такий, що змінні x_j та y_j (а також u_i та v_i) з однаковими індексами не можуть бути водночас базисними. Для відшукання такого розв'язку можна застосувати будь-який із відомих методів ЛП, зокрема, метод штучного базису. З цією метою запишемо систему (14.12)–(14.13) у вигляді

2 x D + u A – y = – c, (14.19)

x A^Т + v = b. (14.20)

Не обмежуючи загальності, будемо вважати, що праві частини цієї системи невід'ємні: –c³0, b³0 (оскільки, в іншому випадку відповідні рівняння, їх праву i ліву частину, досить помножити на –1). Згідно методу штучного базису в кожне рівняння системи (14.19)–(14.20), яке не містить базисної змінної, вводимо штучну змінну. Оскільки змінні v_i (i=1,...,m) можна вважати базисними, то штучні змінні z=(z₁,...,z_n)³0 вводимо тільки в рівняння (14.19) i розглядаємо допоміжну КЗЛП

z i^Т ® min, (14.21)

2 x D + u A – y + z = – c, (14.22)

x A^Т+ v = b, (14.23)

x ³ 0, u ³ 0, y ³ 0, v ³ 0, z ³ 0, (14.24)

де i=(1,1,...,1) — n-вимірний одиничний вектор.

Квадратичний симплекс-метод.

Задача (14.21)–(14.24) розв'язується симплекс-методом.

Якщо знайдений ДБР цієї задачі задовольняє умови доповнюючої нежорсткостi (14.15)–(14.18), то він визначає оптимальний розв'язок вихідної ЗОКП. Інакше треба перейти до нового ДБР. При цьому до базисних включається нова змінна з нульовою оцінкою.

Симплекс-метод з умовами (14.15)–(14.18) для розв'язування допоміжної КЗЛП (14.21)–(14.24), побудованої на основі задачі опуклого квадратичного програмування (14.6)–(14.7), i називають квадратичним симплекс-методом (алгоритм звичайного симплекс-методу, а також всі зв'язані з ним означення i твердження наведені в методичних вказівках до виконання лабораторної роботи №3).

Якщо в оптимальному розв'язку допоміжної КЗЛП (14.21)–(14.24) всі штучні змінні z_j (j=1,...,n) приймають нульові значення, то, відкидаючи їх, отримаємо ДБР системи (14.19)–(14.20). Та його частина, яка відповідає змінним початкової задачі опуклого квадратичного програмування (14.6)–(14.7), i буде її оптимальним розв'язком.

Якщо ж в оптимальному розв'язку допоміжної КЗЛП (14.21)–(14.24) значення хоча б однієї із штучних змінних відмінне від нуля, то система (14.19)–(14.20) розв'язків не має, а, отже, множина сiдлових точок функції Лагранжа початкової задачі опуклого квадратичного програмування порожня.

Порядок виконання роботи:

1. Ознайомитися з теоретичними відомостями;

2. Вибрати варіант завдання, згідно списку підгрупи у журналі;

3. Написати програму в середовище Delphi;

4. За допомогою програми, виконати завдання, згідно варіанту;

5. Написати висновки до роботи.

Варіанти завдань:

Розв'язати квадратичним симплекс-методом задачі опуклого квадратичного програмування наступні задачі.

У всіх задачах виконуються умови: x₁ ³ 0, x₂ ³ 0.

1)	x12 + x22 –2 x1 – 4 x2 ® min,	2)	–2 x12 – 3 x22 + 4 x1 x2 + 12 x2 ® max,
	2 x1 + 3 x2 £ 6;		3 x1 + 4 x2 £ 12;

3)	2 x12 + x22 – x1 x2 – x1 ® min,	4)	x12 + 3 x22 – x1 – 2 x2 ® min,
	x1 + 2 x2 £ 1;		x1 + 4 x2 £ 7;

5)	–2 x12 – 3 x22 + 16 x1+ 24 x2 ® max,			6)	x12+ x22 – 3 x1 – 8 x2 ® min,
	2 x1 + x2 £ 4;				x1 +2 x2 £ 4;
7)	–x12 – x22 + x1 + 2 x2 ® max,	8)	–x12 – x22 + x1 x2 + 5 x1 + 2 x2 ® max,
	x1 + 2 x2 £ 16;		2 x1 +3 x2 £ 15.

Зміст звіту:

1. Титульний лист, згідно встановленого образка;

2. Основні теоретичні відомості;

3. Варіант завдання;

4. Код програми, яка реалізує даний метод;

5. Розв`язок з поясненнями;

6. Висновок.

Контрольні питання:

1. Які функції називають опуклими?

2. Як формулюється задача нелінійного програмування?

3. Алгоритм опуклого симплекс-метода.

ЛІТЕРАТУРА

1. Галеев Э.М. Оптимизация: теория, примеры, задачи: Учебное пособие. – М.: Едиториал УРСС, 2002, –304с.

2. Капустин В.Ф. Практические занятия по курсу математического программирования. Л., Узд-во Ленингр. ун-та, 1976, –192с

3. Карманов В.Г. Математическое программирование: Учебное пособие.-5е изд., стереотип.-М; ФИЗМАТЛИТ, 2004 – 264с.

4. Ковалев М.М. Дискретная математика (целочисленное программирование). Изд. 2-е, стереотипное. М.: Едиториал УРССР, 2003. – 192с.

5. Коршунов Ю.М. Математические основы кибернетики: Учебное пособие для вузов. – М. Энергоатомиздат, 1987. – 496с.: ил.

6. Лунгу К.Н. Линейное программирование. Руководство к решению задач – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005, –128с.

7. Моисеев Н.Н., Иванилов Ю.П., Столярова Е.М. Методы оптимизации –М.: Наука, 1978.-352с.

8. Полак Э. Численные методы оптимизации. - М.: Мир,1974.