Іноді до системи обмежень (1.6) додають ще рівності

(1.9)

У випадку двох або трьох змінних , задачу лінійного програмування можна розв’язати геометрично.

Приклад виконання.

Мінімізувати лінійну функцію за умов

.

Побудуємо область розв’язків, обмежену прямими

.

Рис.1.1

Як випливає з рис.1.1, областю визначення функції ( - форми)

(1.10)

є опуклий чотирикутник ABCD. Надамо якого-небудь конкретного значення, наприклад , тобто у цьому разі . Якщо - форма стала, то множина векторів , що її задовольняє, називається лінією рівня. Тоді сукупність точок, що задовольняє умову

(1.11)

у площині , визначає пряму. Якщо рівняння (1.10) записати у вигляді , то це рівняння виражатиме площину, перпендикулярну до площини , а пряма (1.11) є слідом цієї площини. Це саме стосується і (1.10). Розглянемо (1.11) як рівняння площини. Введемо до розгляду два вектори: і . Тоді (1.11) запишеться у вигляді

. (1.12)

Пряма , що лежить у площині , перпендикулярна до . Тому умову (1.10) запишемо таким чином: . Якщо переміщувати пряму у напрямі вектора паралельно самій собі (рис.1.1), то зростатиме ( зростає), а якщо переміщувати пряму у протилежному напрямі то спадатиме. Отже, мінімального значення - форма набуває у точці А :

при ; ;

.

Максимального значення - форма набуває у точці С(4; 4):

.

Порядок виконання роботи:

1. Ознайомитися з теоретичними відомостями, щодо методу який розглядається;

2. Вибрати варіант завдання, згідно списку підгрупи у журналі;

3. Побудувати область розв`язків, використовуючи графічний редактор;

4. Побудувати лінію рівня функції, яка задана, та вектори та ;

5. Визначити мінімальне та максимальне значення - форми;

6. Написати висновки до роботи.

Варіанти завдань:

N		Обмеження
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15

Зміст звіту

1. Титульний лист, згідно встановленого образка;

2. Основні теоретичні відомості щодо графічного методу розв`язку задач лінійного програмування;

3. Варіант завдання;

4. Графічний розв`язок;

5. Висновок.

Контрольні питання:

1. Які задачі відносяться до задач лінійного програмування?

2. Що таке область допустимих розв`язків?

3. В чому суть графічного методу розв`язку задач лінійного програмування?

4. Що таке лінія рівня?

Лабораторна робота №2

Тема: "Елементарні перетворення матриць. Метод Гауса."

(2 години)

Ціль роботи: за допомогою метода Гауса знайти рішення системи лінійних алгебраїчних рівнянь, обчислювати чисельні визначники матриць, визначити обернені матриці.

Теоретичні відомості:

Розв'язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь

a₁₁x₁ + . . . + a_1n x_n = a₁₀,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , (2.1)

a_m1x₁ + . . . + a_mnx_n = a_m0,

означає:

1. визначити, чи сумісна дана система (тобто, чи має вона хоча б один розв'язок);

2. якщо система сумісна, то, чи має вона єдиний розв'язок, чи таких розв'язків безліч;

3. знайти розв'язок, якщо він єдиний, i знайти загальний розв'язок у випадку існування безлічі розв'язків.

Питання сумісності системи (2.1) розв'язує теорема Кронекера-Капеллi, формулювання якої таке:

Система лінійних алгебраїчних рівнянь (2.1) сумісна в тому i тільки в тому випадку, коли співпадають ранги основної i розширеної матриць

	a11	. . .	a1n			a11	. . .	a1n	a10
A =	. . .	. . .	. . .	,	A* =	. . .	. . .	. . .	. . .	.
	am1	. . .	amn			am1	. . .	amn	am0

При цьому розв'язок єдиний тоді i тільки тоді, коли rang(A)=n. Якщо ж rang(A)=r<n, то обов'язково знайдуться такі r змінних , що вихідна система (2.1) буде еквівалентною системі вигляду:

^(2.2)

де сумування ведеться по j=1,...,n, відмінних від i₁,...,i_r.

Про систему (2.2) говорять, що вона розв'язана відносно змінних i має канонічний вигляд.

Загальний розв'язок системи (1.2) визначається тривіально:

^(2.3)

В рівностях (2.3) змінні x_j (j відмінне від i₁,...,i_r) — вільні змінні, вони можуть набувати довільних значень. Кожна сукупність їх значень однозначно визначає значення змінних — базисних змінних.

Метод Гауса є основним скінченим методом розв'язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь (2.1) i полягає у виконанні однотипних перетворень виключення.

На 1-у кроці методу знаходять змінну у 1-у рівнянні, коефіцієнт біля якої не дорівнює нулю, i виключають цю змінну із всіх інших рівнянь. Якщо, наприклад, a₁₁ не дорівнює нулю, то перетворення 1-го кроку такі: до i-го рівняння додати 1-е рівняння, помножене на число –a_i1/a₁₁, i=2,...,m.

В результаті перетворень 1-го кроку система (2.1) набуває вигляду:

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + . . . + a_1n x_n = a₁₀,

a₂₂x₂ + . . . + a_2n x_n = a₂₀,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , (2.4)

a_m2x₂ + . . . + a_mnx_n = a_m0.

На наступному кроці ця ж послідовність дій застосовується до частини системи, що складається з системи (2.4) без 1-го рівняння i т. д. Згаданий процес продовжується доти, поки не буде отримана система трапецієвидного (зокрема, трикутного) вигляду, або не буде підтверджена ознака несумісності системи.

Описані перетворення складають прямий хід методу Гауса. При прямому ході перетворення виконуються «зверху вниз» — від першого рівняння до останнього. Зворотний хід методу Гауса складають перетворення виключення відокремлених при прямому ході базисних змінних, при цьому перетворення виконуються в зворотному порядку: від останнього рівняння до першого — «знизу вверх».

Прямий та зворотний хід методу Гауса дістав назву методу повного виключення Жордана-Гауса.

Крім основного призначення (як методу розв'язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь) метод Гауса має i інші важливі застосування.

За допомогою прямого ходу методу Гауса можна обчислювати чисельні визначники (шляхом зведення визначника до трикутного вигляду).

Метод Жордана-Гауса дозволяє знаходити обернені матриці.

Нехай маємо деяку не вироджену квадратну матрицю:

	a11	. . .	a1n
A =	. . .	. . .	. . .	.
	an1	. . .	ann

Побудуємо розширену матрицю вигляду:

a11	. . .	a1n	1	. . .	0
. . .	. . .	. . .	. . .	. . .	. . .
an1	. . .	ann	0	. . .	1

i застосуємо до неї метод Жордана-Гауcа. Якщо в результаті отримаємо матрицю вигляду:

1	. . .	0	b11	. . .	b1n
. . .	. . .	. . .	. . .	. . .	. . .	,
0	. . .	1	bn1	. . .	bnn

то

b11	. . .	b1n
. . .	. . .	. . .	—
bn1	. . .	bnn

обернена матриця до вихідної матриці A.

Порядок виконання роботи:

1. Ознайомитися з теоретичними відомостями, щодо методу який розглядається;

2. Вибрати варіант завдання, згідно списку підгрупи у журналі;

3. Написати програму в середовище Delphi, яка реалізує метод Жордана-Гауса;

4. За допомогою програми, виконати завдання, згідно варіанту;

5. Написати висновки до роботи.

Варіанти завдань:

Розв'язати методом Гауса системи лінійних алгебраїчних рівнянь, що задані розширеними матрицями:

1)	2	-2	0	1	-3	2)	1	1	-6	-4	6	3)	2	-1	3	4	5
	2	3	1	-3	-6		3	-1	-6	-4	2		4	-2	5	6	7
	3	4	-1	2	0		2	3	9	2	6		6	-3	7	8	9
	1	3	1	-1	2		3	2	3	8	-7		8	-4	9	10	11

Обчислити наступні визначники:

4)	0	1	1	1		5)	1	1	6	4		6)	3	6	5	6	4
	1	0	1	1			3	1	6	4			5	9	7	8	6
	1	1	0	1			2	3	9	2			6	12	13	9	7
	1	1	1	0			3	2	3	8			2	5	4	5	3
													4	6	6	5	4

Знайти обернені до таких матриць:

7)	1	1	1	1		8)	1	2	3	4		9)	3	6	5	6
	1	1	-1	-1			2	3	1	2			5	9	7	8
	1	-1	1	-1			1	1	1	1			6	12	13	9
	1	-1	-1	1			1	0	2	6			2	5	4	5

Зміст звіту:

1. Титульний лист, згідно встановленого образка;

2. Основні теоретичні відомості;

3. Варіант завдання;

4. Код програми, яка реалізує даний метод, з коментаріями;

5. Розв`язок з поясненнями;

6. Висновок.

Контрольні питання:

1. Як знайти матрицю обернену до заданої?

2. Що таке ранг матриці, розширена матриця?

3. Які системи називають сумісними?

4. Що таке прямий та зворотний хід Гауса?

5. Які показники можна знайти за допомогою метода Жордана-Гауса?

Лабораторна робота №3

Тема: "Задача лінійного програмування. Симплекс-метод"

(2 години)

Ціль роботи: ознайомитися з задачами лінійного програмування. Вирішити задачу лінійного програмування симплекс-методом.

Теоретичні відомості:

Постановка задачі лінійного програмування в стандартній формі (СЗЛП).

Знайти вектор x=(x₁,...,x_n), що мiнiмiзує цільову функцію

L(x) = c₁x₁ + ... + c_nx_n (3.1)

i задовольняє систему обмежень

a₁₁x₁ + . . . + a_1n x_n = a₁₀,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , (3.2)

a_m1x₁ + . . . + a_mnx_n = a_m0,

x_j³0, j=1,...,n. (3.3)

В задачі (2.1)–(2.3) будемо називати матрицю A=||a_ij||, i=1,...,m, j=1,...,n, матрицею умов; вектор-стовпець A_j=(a_1j,...,a_mj)^т, j=1,...,n, — j-м вектором умов; вектор A₀=(a₁₀,...,a_m0)^т — вектором обмежень.

Основні означення.

Вектор x=(x₁,...,x_n) називається допустимим розв'язком ЗЛП, якщо його компоненти задовольняють обмеження (2.2)–(2.3).

Ненульовий допустимий розв'язок x — базисний (ДБР), якщо його додатним компонентам x_j відповідають лінійно незалежні вектори умов A_j. (Нульовий допустимий розв'язок будемо завжди вважати базисним).

Система m лінійно незалежних векторів умов, що включає вказані вектори A_j, називається базисом.

Вектори базису утворюють базисну матрицю.

Виклад симплекс-методу.

Симплекс-метод (СМ) безпосередньо застосовується до розв'язування канонічної задачі лінійного програмування (КЗЛП) i здійснює цілеспрямоване перебирання допустимих базисних розв'язків (ДБР) (вершин допустимого многогранника розв'язків ЗЛП, що визначається обмеженнями (3.2)–(3.3)), до множини яких належить оптимальний розв'язок, якщо він існує; або визначає, що ЗЛП не має оптимального розв'язку.

ЗЛП — канонічна, якщо її обмеження (3.2) мають канонічну форму:

x_i + a_i,m+1 x_m+1 + ... + a_inx_n = a_i0, a_i0³0, i=1,...,m,

тобто, матриця умов A=||a_ij||, i=1,...,m, j=1,...,n, містить в собі одиничну пiдматрицю розміру m´m i вектор обмежень A₀=(a₁₀,...,a_m0)^т — невід'ємний.

КЗЛП елементарно визначає такі основні в лінійному програмуванні конструкції:

• деякий ДБР — x(0)=(a₁₀,...,a_m0,0,...,0);

• його базис — m-вимiрнi одиничні вектори (1,0,...,0)^т, (0,1,...,0)^т,..., (0,...,0,1)^т;

• його базисну матрицю B — одиничну матрицю розміру m´m;

• базисні змінні — x₁,...,x_m.

Стандартна ЗЛП (3.1)–(3.3) зводиться в загальному випадку до канонічної ЗЛП додаванням штучних невід'ємних змінних до лівих частин обмежень (3.2) i введенням цих же змінних з досить великим коефіцієнтом М>0 до цільової функції (3.1) (М-метод).

М-задача має вигляд:

L(x) = c₁x₁ + ... + c_nx_n + M(y₁ + ... + y_m) ® min,

a₁₁x₁ + . . . + a_1n x_n + y₁ = a₁₀,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,

a_m1x₁ + . . . + a_mnx_n + y_m = a_m0,

x_j³0, j=1,...,n, y_i³0, i=1,...,m,

a_i0³0, i=1,...,m.

Ознака оптимальності: Якщо на деякому кроці СМ симплекс-рiзницi (див. алгоритм) ДБР x* невід'ємні, то x* — оптимальний розв'язок КЗЛП.

Умови відсутності розв'язку:

1. ЗЛП не має оптимального розв'язку, якщо на якому-небудь кроці хоча б один вектор умов A_j з від'ємною оцінкою D_j не має додатних компонент;

2. ЗЛП не має розв'язків, якщо хоча б одна штучна змінна додатна у випадку, коли виконується ознака оптимальності.

Алгоритм симплекс-метoду.

На кожному кроці СМ виконуються такі дії (розрахункові формули наводяться лише для першого кроку).

1. Розглядається ДБР x=(a₁₀,...,a_m0,0,...,0).

Обчислюються відносні оцінки (симплекс-рiзницi) D_j небазисних змінних x_j, j=m+1,...,n, за формулою:

D_j=c_j – (c_б, A_j),

де c_б=(c₁,...,c_m), A_j — вектор умов, що відповідає змінній x_j (відносні оцінки базисних змінних дорівнюють нулю).

Якщо для всіх j=1,...,n, виконується умова D_j³0, то ДБР x є оптимальним розв'язком КЗЛП. Якщо до того ж усі штучні змінні дорівнюють нулю, то, відкидаючи їх, отримаємо оптимальний розв'язок вихідної ЗЛП; інакше вихідна ЗЛП не має розв'язкiв (її допустима область порожня).

Якщо існує таке j, що D_j<0, а вектор умов A_j не має додатних компонент, то ЗЛП не має оптимального розв'язку (її цільова функція L(x) не обмежена знизу на допустимому многограннику розв'язків). Кінець обчислень.

2. Якщо існують індекси j, для яких D_j<0, а відповідні вектори умов A_j мають додатні компоненти, то знаходять k за формулою

k=argminD_j,

j: D_j<0

i, обчислюючи для a_ik>0 відношення q_i=a_i0/a_ik, визначають l, що задовольняє співвідношення

l=argminq_i.

i: a_ik>0

3. Переходять до нового ДБР, шляхом уведення до базису вектора A_k i виведення з базису вектора A_l. Такий перехід здійснюється за допомогою симплекс-перетворень (елементарних перетворень Жордана-Гауса) з ведучим елементом a_lk над елементами розширеної матриці умов (3.2). Перехід до пункту 1.

Порядок виконання роботи:

1. Ознайомитися з теоретичними відомостями, щодо методу який розглядається;

2. Вибрати варіант завдання, згідно списку підгрупи у журналі;

3. Якщо задача задана не у канонічній формі то привести до канонічної задачі лінійного програмування;

4. Записати базисну матрицю;

5. Визначити допустимий базисний розв`язок;

6. Скласти блок-схему алгоритму;

7. Написати програму в середовище Delphi, яка реалізує симплекс-метод;

8. За допомогою програми, виконати завдання, згідно варіанту;

9. Написати висновки до роботи.

Варіанти завдань:

Симплексним методом розв`язати задачі лінійного програмування .

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 14.

Зміст звіту:

1. Титульний лист, згідно встановленого образка;

2. Основні теоретичні відомості;

3. Варіант завдання;

4. Блок-схема методу:

5. Код програми, яка реалізує даний метод, з коментаріями ;

6. Скрін-шоти форм;

7. Висновок.

Контрольні питання:

1. Сформулюйте задачу лінійного програмування.

2. Що таке симплекс?

3. Що таке канонічної задачі лінійного програмування?

4. Назвіть ознаки оптимальності для даного методу.

5. У яких випадках задача лінійного програмування не має розв`язку?

6. Яка різниця між допустимими оптимальним розв`язками?

7. Наведіть основні кроки симпекс-методу.

Лабораторна робота №4

Тема: "Задача цілочисельного лінійного програмування. Метод Гоморі "

(2 години)

Ціль роботи: вирішити методом Гоморі задачу цілочисельного лінійного програмування.

Теоретичні відомості.

Постановка цiлочисельної задачі лінійного програмування.

Знайти вектор x=(x₁,...,x_n), що мiнiмiзує цільову функцію

L(x) = c₁x₁ + ... + c_nx_n (4.1)

i задовольняє систему обмежень

a₁₁x₁ + . . . + a_1n x_n = a₁₀,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , (4.2)

a_m1x₁ + . . . + a_mnx_n = a_m0,

x_j³0, j=1,...,n, (4.3)

x_j — цілі, j=1,...,n. (4.4)

Виклад методу Гоморi.

Метод Гоморi є одним з методів відтинання, ідея яких полягає в наступному.

Розв'язується допоміжна ЗЛП (4.1)–(4.3), яку отримують з вихідної ЦЗЛП (4.1)–(4.4) відкиданням умови цiлочисельностi змінних (4.4). Якщо оптимальний розв'язок допоміжної ЗЛП — цiлoчисельний, то він буде і розв'язком вихідної ЦЗЛП. Якщо ж отриманий розв'язок допоміжної задачі не є цiлочисельним, то від розв'язаної ЗЛП переходять до нової допоміжної ЗЛП приєднанням лінійного обмеження, яке задовольняють цiлочисельнi розв'язки вихідної ЦЗЛП i яке не задовольняє отриманий нецiлочисельний розв'язок допоміжної ЗЛП. Згадане додаткове лінійне обмеження визначає деяку відтинаючу площину i називається правильним відтином. Приєднання нових правильних вiдтинiв до початкової допоміжної ЗЛП здійснюється доти, поки на деякому кроці не буде отриманий цiлочисельний розв'язок допоміжної задачі, який, очевидно, буде оптимальним розв'язком вихідної ЦЗЛП. В методі Гоморi правильний відтин будується таким чином.

Нехай на останній iтерацiї симплекс-методу при розв'язуванні допоміжної ЗЛП непрямі обмеження цієї задачі набули вигляду:

x_i + a_i,m+1 x_m+1 +...+ a_in x_n = a_i0, i=1,...,m,

i, таким чином, розв'язком допоміжної ЗЛП буде вектор

x = (a₁₀ ,..., a_m0,0,...,0 ).

Нехай існує номер r такий, що a_r0 — дріб, i, як завжди, {z} — дробова частина z. Тоді правильний вiдтин методу Гоморi-1 задається нерівністю:

{ a_r,m+1} x_m+1 +...+ { a_rn} x_n ³ { a_r0} .

Алгоритм методу Гоморi.

1. Розв'язуємо допоміжну ЗЛП (4.1)–(4.3). Нехай x(0) — її оптимальний розв'язок. Якщо оптимальний розв'язок не існує, то вихідна ЦЗЛП також не має оптимального розв'язку.

2. Нехай на s-й iтерацiї розв'язана допоміжна ЗЛП, що має M обмежень i N змінних, x(s) — її оптимальний розв'язок.

Будемо вважати, що x(s) визначається канонічними обмеженнями останньої iтерацiї, тобто:

x_i + b_i,M+1 x_M+1 +...+ b_iN x_N = b_i0, i=1,...,M,

Звідки

x(s) = ( b₁₀,...,b_M0,0,...,0 ).

3. Якщо b_i0 (i=1,...,M) — цілі, то — кінець, x(s) є оптимальним розв'язком вихідної ЦЗЛП. Якщо існує хоча б одне i таке, що b_i0 — дріб, то перехід до пункту 4.

4. Знаходимо r=min{i} по всіх i таких, що b_i0 — дріб та будуємо додаткове обмеження

x_N+1 – {b_r,M+1} x_M+1 –...– {b_rN} x_N = – {b_r0} ,

де x_N+1 ³ 0 — додаткова змінна.

5. Розширюємо симплекс-таблицю за рахунок (M+1)-го рядка (додаткове обмеження) та (N+1)-го стовпця, що відповідає додатковій змінній x_N+1.

6. Розв'язуємо розширену таким чином ЗЛП двоїстим симплекс-методом i переходимо до пункту 2 з заміною s на s+1. Якщо при цьому на якій-небудь iтерацiї симплекс-методу одна з додаткових змінних задачі повторно стає базисною, то виключаються з подальшого розгляду відповідні їй рядок i стовпець.

Порядок виконання роботи:

1. Ознайомитися з теоретичними відомостями, щодо методу який розглядається;

2. Вибрати варіант завдання, згідно списку студентів підгрупи у журналі;

3. Написати програму в середовище Delphi, яка реалізує даний метод;

4. За допомогою програми, виконати завдання, згідно варіанту;

5. Написати висновки до роботи.

Варіанти завдань:

Розв'язати методом Гоморi задачі цiлочисельного лінійного програмування, в усіх задачах, що пропонуються нижче, всі змінні невід'ємні та цілі.

1)	5 x1 + 6 x2 + 6 x3 ® min,	2)	6 x1 + 4 x2 ® min,
	2 x1 + 4 x2 ³ 10,		2 x1 + x2 ³ 3,
	3 x1 + 2 x2 + 2 x3 ³ 10;		x1 – x2 £ 1;

3)	6 x1 + 4 x2 ® min,	4)	x1 + x2 ® min,
	2 x1 + x2 ³ 3,		– x1 – x2 + x5 = –1,
	x1 – 2 x2 £ 2,		–2 x1 + 2 x2 + x3 = –2,
	3 x1 + 2 x2 ³ 1;		–4 x1 + 2 x2 + x4 = –1;

5)	6 x1 + 4 x2 ® min,	6)	2 x1 + 3 x2 ® min,
	2 x1 + x2 ³ 3,		x1 + 2 x2 ³ 16,
	x1 – x2 ³ 1;		2 x1 + x2 ³ 16;

7)	5 x1 – 3 x2 ® max,	8)	5 x2 + 7 x4 ® min,
	3 x1 + 2 x2 ³ 6,		– 10 x2 + x3 + x4 = –16,
	2 x1 – 3 x2 ³ – 6,		x1 – 3 x2 – 3 x4 = –12,
	x1 – x2 £ 4,		– 6 x2 – 2 x4 + x5 = –17;

9)	– 5 x4 – 7 x5 ® max,	10)	8 x1 + 2 x2 ® max,
	x1 – x4 – 2 x5 = – 7,		x1 – 4 x2 + x3 = 4,
	– x3 + 3 x4 – 6 x5 = – 3,		– 4 x1 + x2 + x4 = 4,
	x2 – x4 – 4 x5 = –11;		x1 + x2 + x5 = 6.

Зміст звіту:

1. Титульний лист, згідно встановленого образка;

2. Основні теоретичні відомості;

3. Варіант завдання, вихідні данні ;

4. Код програми, яка реалізує даний метод;

5. Розв`язок з поясненнями;

6. Висновок.

Контрольні питання:

1. Що таке цілочисельна задача лінійного програмування?

2. Як будується симплекс-таблиця?

3. Які змінні називають базисними?

4. Який алгоритм методу Гоморі?

5. Чим відрізняється метод Гоморі від симплекс-методу?

Лабораторна робота № 5