7. Решить дифференциальные уравнения.

7.1. у''+у=ctgx. Ответ:

7.2. . Ответ:

8. Решить системы дифференциальных уравнений.

8.1. Ответ:

8.2. Ответ:

5.5. Примерный составзаданий варианта билета к экзамену

5.5.1. Экзамен №1

1. Вычислить предел: .

2. Исследовать функцию и построить ее график: .

3. Найти производную функции: .

4. Найти первый и второй дифференциалы функции f(x,y) в точке М:

f(x,y) = sin(xy), M(1,π).

5. Найти наибольшее и наименьшее значения функцииf(x,y) на множестве D: f(x,y) = 2x+12y-3, D={(x,y) / 1≤x≤2; 1≤y≤2x}.

6. Получить линейную зависимость y = ax + b по следующим данным:

x	1	2	3	4	5	6
y	6	8	10	9	12	11

5.5.2. Экзамен №2

1. Найти интеграл: .

2. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми: xy= 40, x+y= 13.

3. Предположим, что - функция рыночного спроса и - функция рыночного предложения. Найти равновесную цену и количество товара.

4. Функции спроса и предложения на некоторый товар задаются формулами S(p) = bp-aиD(p) = c-dp , где a, b, c, d- положительные числа, такие, что >ad. Государство собирается ввести налог t на единицу товара (акциз). Найти величину акциза, чтобы сбор от него был максимален. Каков будет при этом общий доход государства?

5. Докажите, что если функция f(x) непрерывна на отрезке , то функция , является первообразной на этом отрезке

₆. Найти область сходимости степенного ряда: _.

_{7. Найти решение задачи Коши: , y(1)=-1.}

_{8. Сформулируйте и докажите признак Даламбера для числовых рядов с положительными членами.}

6. Методические рекомендации по организации изучения дисциплины

Учебный материал дисциплины «Математический анализ» состоит из следующих разделов: 1) введение в анализ: множества, функции; 2) предел и непрерывность функции; 3) дифференциальное исчисление функций одной переменной; 4) дифференци­альное исчисление функций нескольких переменных; 5) интегральное исчисление функций одной переменной; 6) числовые и степенные ря­ды; 7) обыкновенные дифференциальные уравнения.

Изучение разделов «Введение в анализ: множества, функции», «Дифференциальное исчис­ление функций одной переменной» служит углублению знаний, получен­ных в школьном курсе «Алгебра и начала анализа», как в отношении бо­лее основательной теоретической базы, так и в направлении решения бо­лее трудных задач.

При изучении раздела «Предел и непрерывность функций» студенты знакомятся с основами математического анализа как раздела высшей ма­тематики.

Раздел «Дифференциальное исчисление функций нескольких пере­менных» является для студентов новым и требует большего времени на освоение. Так как математическая формализация экономических задач требует рассмотрения, как правило, функций нескольких переменных, то для успешной работы с математическими моделями экономических про­цессов этот раздел обязателен для изучения.

В разделе «Интегральное исчисление функций одной переменной» рассматривается решение задачи, обратной к задаче нахождения произ­водной. Трудности, возникающие при освоении раздела, носят как техни­ческий характер (приемы вычисления неопределенных интегралов), так и принципиальный характер: не любой интеграл от элементарной функции может быть представлен как элементарная функция. Для хорошего освое­ния раздела требуется решение большого количества задач.

В разделе «Числовые и степенные ряды» студенты осваивают новые для них понятия. Центральным моментом при изучении числовых рядов является понятие сходимости ряда, которое позволяет определить беско­нечную сумму ряда или утверждать, что такой суммы для данною ряда не существует. В степенных рядах важнейшим обстоятельством является возможность разложения функций в степенной ряд с последующим их дифференцированием или итерированием. Это позволяет применять степенные ряды, как в приближенных вычислениях, так и при решении дифференциальных уравнений.

В разделе «Обыкновенные дифференциальные уравнения» использу­ются понятия производной и интеграла. Дифференциальные уравнения часто возникают при построении математических моделей экономических процессов.

Для успешного освоения учебного материала курса «Математический анализ» требуются систематическая работа по изучению лекций и реко­мендуемой литературы, решению домашних задач и домашних контроль­ных работ (индивидуальных заданий), а также активное участие в работе семинаров.

Показателем освоения материала служит успешное решение задач предлагаемых домашних контрольных работ (индивидуальных заданий) и выполнение аудиторных самостоятельных и контрольных работ.

В качестве оценочных средств программой дисциплины предусмат­ривается:

• текущий контроль (аудиторные контрольные работы, домашние контрольные работы, домашние задания);

• итоговый контроль (Часть I экзамен, часть II экзамен).

Итоговый контроль изучения дисциплины «Математический анализ» проводится в форме письменного экзамена в 1-ом и 2-ом семест­рах. Итоговая оценка за экзамен выставляется в форме «неудовлетвори­тельно», «удовлетворительно», «хорошо», «отлично».