VII.Функциональные ряды.
33. Исследовать сходимость рядов:
а)
;
б)
.
34. Определить интервал сходимости степенного ряда и исследовать его сходимость на границах интервала:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
.
35. Пользуясь разложением в ряд элементарных функций, написать разложения в степенной ряд следующих функций:
а)
;
б) cos2x;
в)
;
г)
;
д) sin2x.
36. Вычислить с указанной степенью точности:
а) cos 1º с точностью до 10-6;
б)
с точностью до 10-3;
в)
с точностью до 10-3;
г)
с точностью до 10-3;
д)
с точностью до 10-3;
е)
с точностью до 10-3.
VIII.Функции нескольких переменных.
37. Найти область определения функций:
а) z
=
;
б) z = arcsin(x
+ y);
в) u
= ln(x2
+ y2 + z2
– 1); г) u =
;
д) z
=
.
38. Построить линии уровней следующих функций (для z = 1, 2, 3):
а) z = x + y; б) z = x2 – y2;
в) z
= x2 + y2
– 3; г) z =
;
д) z
=
;
е) z =
ln(xy);
ж) z = exy.
39. Построить поверхности уровней функций (для u = 0, 1, 2):
а) u = 2x + y + 3z;
б) u = x2 + y2 + z2;
в) u = 4x2 + 9y2 + z2.
40. Показать, что данные функции удовлетворяют приведенным
уравнениям:
а)
;
;
б)
;
;
в)
;
.
41. Найти производные приведенных функций по направлению вектора eв
заданной точке:
а) z = x3y – 5xy2 + 8; e = (1; 1); М0(1; 1);
б) z
= ln
;
e = (6; 8); М0(1; 2);
в) u =
arccos
;
e = (2; 1; 2); М0(1;
1; 1).
42.Построить линии уровня функции z = 4 – x2 – y2. Найти величину и
направление gradz в точке М0(1; 2).
43.Найти gradz и |gradz|:
а) z = (x – y)2 в точке М0(1; 1);
б) z
=
в точке М0(1; 1).
44.Вычислить приближенно:
а)
;
б) ln(8,001 + 0,993);
в)
.
45.Показать, что
функция z =
удовлетворяет уравнению
.
46.Найти экстремумы функции:
а) z = x2 – xy + y2 + 9x – 6y + 20;
б) z = xy2 – xy – xy3 (x> 0, y> 0);
в) z = 3x2 – x3 + 3y2 + 4y;
г) z
= y
-
y2 – x
+ 6y;
д) z
= 4 -
.
47.Найти условные экстремумы функций:
а) z = x2 + y2 – xy + x + y – 4 при x + y + 3 = 0;
б) z
=
при x + y = 2;
в) z = x + 2y при x2 + y2 = 1;
г) z
= x + y при
.
48.Найти уравнение
касательной плоскости к поверхности
4x2+3y2+5z2=1
в точке P0
.
49.
а) Получить линейную зависимость y = ax + b по следующим данным:
-
x
1
2
3
4
5
6
y
6
8
10
9
12
11
б) В результате исследования зависимости между сроком эксплуатации
автомобиля и расходами на его ремонт получены следующие данные:
-
t, лет
1
2
3
4
5
6
7
8
S, тыс. руб.
120
140
230
370
445
570
655
770
Найти:
- линейную зависимость стоимости ремонта автомобиля от срока
эксплуатации;
- предполагаемую величину затрат на ремонт за 10-й год эксплуатации.
в) Прибыль предприятия за некоторый период деятельности по годам
приведена ниже:
-
Год t
1
2
3
4
5
6
7
Прибыль π
54
57
62
65
67
69
70
Требуется:
- составить квадратичную зависимость прибыли по годам деятельности
предприятия;
- определить ожидаемую прибыль для 8-го года деятельности.
50.
а) Предприниматель решил выделить на расширение своего дела 150 тыс. руб. Известно, что если на приобретение нового оборудования затратить x тыс. руб., а на зарплату вновь принятых работников y тыс. руб., то прирост объема продукции составит Q = 0,001x0,6y0,4. Как следует распределить выделенные денежные ресурсы, чтобы прирост объема продукции был максимальным?
б) Общие издержки производства заданы функцией TC = 0,5x2 + 0,6xy + 0,4y2 + 700x + 600y + 2000, где x и y – соответственно количество товаров А и В. Общее количество произведенной продукции должно быть равно 500 ед. Сколько единиц товара А и В нужно производить, чтобы издержки на их изготовление были минимальными?