V. Неопределённый интеграл

73. Дайте определения первообразной функции и неопределенного интеграла.

74. Перечислите и докажите свойства неопределенного интеграла (5 свойств).

75. В чем заключается метод интегрирования заменой переменной?

76. Выведите формулу интегрирования по частям. Приведите примеры интегралов, к которым применяется метод интегрирования по частям.

77. Какие виды простейших (элементарных) дробей Вам известны?

78. Как интегрируются рациональные дроби?

79. Как интегрируются иррациональные функции?

80. Как интегрируются тригонометрические функции?

VI.Определённый интеграл

81. Дайте определение определенного интеграла, как предела интегральных сумм.

82. Сформулируйте теорему Коши о существовании определенного интеграла.

83. Перечислите и докажите основные свойства определенного интеграла (10 свойств).

84. Докажите формулу Ньютона-Лейбница.

85. Выведите формулу замены переменной в определенном интеграле.

86. Докажите формулу интегрирования по частям в определенном интеграле.

87. Как вычисляются площади плоских фигур с помощью определенного интеграла?

88. Выведите формулу длины дуги плоской кривой.

89. Как вычисляются объемы тел вращения с помощью определенного интеграла?

90. Приведите примеры применения определенного интеграла в экономике (нахождение функции издержек, определение коэффициента Джинни, дисконтированного дохода).

91. Дайте определение несобственного интеграла I рода.

92. Дайте определение несобственного интеграла II рода.

93. Сформулируйте признаки сходимости несобственных интегралов I и II родов.

VII.Числовые ряды.

94. Дайте определения числового ряда и частичной суммы.

95. Какой числовой ряд называется сходящимся?

96. Перечислите свойства сходящихся рядов.

97. Докажите необходимый признак сходимости числового ряда.

98. Докажите признак Даламбера.

99. Докажите интегральный признак Коши.

100. Как исследовать сходимость числового ряда по радикальному признаку Коши?

101. Докажите признак Лейбница для исследования сходимости знакочередующегося ряда.

102. Докажите достаточный признак сходимости знакопеременных рядов.

103. Какой знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся?

104. Перечислите свойства абсолютно сходящихся рядов.

VIII.Функциональные ряды.

105. Сформулируйте определение функционального ряда. Приведите пример.

106. Сформулируйте определения точки сходимости и области сходимости функционального ряда. Приведите пример.

107. Дайте определение частичной суммы ряда.

108. Дайте определение степенного ряда. Приведите пример.

109. Докажите теорему Абеля об области сходимости степенного ряда.

110. Дайте определения интервала и радиуса сходимости степенного ряда.

111. Перечислите свойства степенных рядов.

112. Дайте определения рядов Тейлора и Маклорена. Приведите пример.

113. Докажите необходимое и достаточное условия сходимости ряда Тейлора.

114. Докажите достаточное условие разложимости функции в ряд Тейлора.

115. Разложите функцию y = e^x в ряд Маклорена.

116. Разложите функцию y = sinx в ряд Маклорена.

117. Разложите функцию y = ln(1+x) в ряд Маклорена.

118. Разложите функцию y = cosx в ряд Маклорена.

119. Разложите функцию y = (1+x)α в ряд Маклорена.