Оптимізаційна задача лінійного програмування (злп).

Приклад ЗЛП в економіці - задача розподілу ресурсів, сутність якої полягає у визначенні оптимальної виробничої програми підприємства - обсягів випуску продукції певних видів, - щоб забезпечити максимальний прибуток. Випуск продукції потребує певних матеріальних, трудових і фінансових ресурсів, норми використання яких для кожного виду продукції відомі. Кількість цих ресурсів обмежена. Математична модель задачі розподілу ресурсів має такий вигляд:

;

;

,

де - прибуток від реалізації одиниці j-ї продукції,

- норма використання i-го ресурсу на виробництво одиниці j-ї продукції,

- наявна кількість i-го ресурсу,

- обсяг випуску j-ї продукції.

Розв’язок оптимізаційних задач лінійного програмування в MS Excel базується на використанні симплекс-методу, який передбачає нормалізацію моделі:

;

;

.

На аркуші MS Excel нормалізована модель відображається у вигляді таблиці (таб.5.3.).

Таблиця 5.3.

		x1	…	xj	…	xn
F		-c1	…	-cj	…	-cn
y1	b1	a11	…	a1j	…	a1n
…	…	…	…	…	…	…
yi	bi	ai1	…	aij	…	ain
…	…	…	…	…	…	…
ym	bm	am1	…	amj	…	amn

Така таблиця називається симплекс-таблицею і є основною формою розв’язання ЗЛП. У цій таблиці всі змінні поділяються на вільні та базисні. Вільні змінні – це c_j, базисні – це b_i. На початку роботи значення вільних змінних дорівнює нулю.

Використання симплекс-методу для розв’язання ЗЛП дозволяє отримати допустиме рішення, якщо в стовпці вільних змінних всі величини невід’ємні.

Розв’язок є оптимальним в одному із таких випадків:

• Цільова функція має мінімальне значення, якщо всі елементи в рядку цільової функції - від’ємні, ;

• Цільова функція має максимальне значення, якщо всі елементи в рядку цільової функції – додатні, .

Пошук оптимального розв’язку полягає в перегляді вершин області допустимих розв’язків (ОДР). При цьому перехід від однієї вершини до іншої відбувається з достатньо складним алгоритмом симплекс-методу, що полягає в обміні змінних. Кожен перехід від однієї вершини до іншої, що називається ітерацією, полягає в тому, що одна базисна змінна прирівнюється до нуля, тобто переходить у вільну, а одна вільна змінна переходить у базисну. На кожній ітерації перевіряють задоволення ознак допустимого й оптимального розв’язків. Така процедура продовжується доти, доки не будуть задоволені обидві ознаки.

При розв’язку задачі лінійного програмування досить часто оптимального рішення отримати не вдається. Це відбувається з двох причин:

• відсутня область допустимих рішень. На жаль, це дуже часто зустрічається на практиці, а не тільки є теоретично можливим варіантом. У таких випадках MS Excel буде видавати повідомлення Поиск не может найти соответственного решения. У загальному випадку несумісність може бути наслідком невірної математичної моделі або некоректності вхідних даних. Для розв’язання задачі в цих умовах слід використати спеціальні способи подолання несумісності;

• не обмежена цільова функція й область допустимих рішень. Задача оптимізації не може бути розв’язана при максимізації F, якщо ОДР не обмежена зверху, а при мінімізації F – знизу. У такому разі MS Excel буде видавати повідомлення Значение целевой клетки не сходится.

Необмеженість цільової функції – це наслідок помилки в математичній моделі. Щоб її уникнути, потрібно додержуватись таких правил:

1. При максимізації цільової функції вона має бути обмежена зверху або за допомогою обмежень, або за допомогою граничних умов:

2. При мінімізації цільової функції вона має бути обмежена знизу:

Додатково до розв’язку задачі MS Excel видає так звані "подвійні оцінки" задачі, що називаються у звітах MS Excel тіньовою ціною. Для розуміння сутності даної інформації необхідно пам’ятати, що кожній задачі лінійного програмування (яку будемо називати вхідною) відповідає подвійна задача. Її формулювання здійснюється за такими правилами:

1. і-му обмеженню вхідної задачі відповідає змінна подвійної задачі z_i.

2. Кожній змінній вхідної задачі відповідає обмеження подвійної задачі.

3. Матриця коефіцієнтів при подвійних змінних в обмеженнях подвійної задачі є транспонованою матрицею коефіцієнтів при змінних в обмеженнях вихідної задачі.

4. Знакам нерівностей обмежень  у вихідній задачі відповідають знаки  в подвійної задачі .

5. Праві частини обмежень у подвійній задачі дорівнюють коефіцієнтам при змінних у цільовій функції вхідної задачі.

6. Коефіцієнти при подвійних змінних у цільовій функції подвійної задачі дорівнюють правим частинам обмежень вихідної задачі.

7. Максимізація цільової функції вхідної задачі замінюється мінімізацією цільової функції подвійної задачі.

У загальному вигляді вхідній задачі відповідає подвійна:

Важлива властивість подвійної задачі полягає в тому, що

.

Таким чином, подвійна змінна z_i стає коефіцієнтом для b_i і отже, показує, як зміниться цільова функція при зміні ресурсу b_i. Значення подвійних оцінок знаходиться в симплекс-методі оптимального розв’язку вхідної задачі, наведеної для прикладу, що розглядається на перетині рядка цільової функції з стовпцем даної додаткової змінної. Таким чином, якщо за даним ресурсом є резерв, то додаткова змінна буде більше нуля, а подвійна оцінка цього обмеження дорівнює нулю.

Ступінь впливу одиниці додаткового ресурсу визначається значенням коефіцієнтів у рядку цільової функції при додаткових змінних, які увійшли до оптимального розв’язку.