§ 10. Количество

362. (В логике и математике.) (1) Любая акциденция, посредством которой субстанция имеет части, не входящие одна в другую (has part outside of part). Ср. Количество (2).

Это старое определение; и оно отвечает старому значению слова тем, что оно представляет количество значительно более конкретным, нежели современная концепция. Количество (см. Арис-тотель²) явля­ется или раздельным, или непрерывным. Непрерывное количество — это, во-первых, величина, во-вторых, время. Старое определение ма­тематики как науки о количестве будет понято неправильно, если взять количество в современном смысле; имелось в виду только то, что ма­тематика изучает акциденции, имеющие число, величину или продол­жительность. Поэтому была математика музыки.

363. (2) В общепринятом современном смысле, количество есть система отношений порядка. Отношение порядка отличается от транзитивного отношения только точкой зрения и (настолько близ­ко связаны обе точки зрения) вряд ли представляет собой более, нежели способ выражения. Наконец, все транзитивные отношения можно отнести к включениям. Следовательно, количество молено определить как систему включений, рассматриваемую как отноше­ние порядка. Очень важно понять, что количество — это просто система релятивных упорядоченных отношений в линейном ряду. Каждое полное определение количества в некоторой данной сис­теме есть некоторая «величина».

Количество либо считается, либо измеряется. Считаемое коли­чество может иметь конечное множество величин. Из всех количе­ственных систем счетного множества простейшая — это система целых чисел. Система рациональных дробей — единственная обык­новенно употребляемая из прочих систем. Эти дроби могут быть несколькими способами упорядочены по количеству посредством простого счета.

364. (3) Понятия, или термины, рассматриваются в логике как имеющие субъектные части, состоящие из более узких терминов, и дефинитные части, представляющие собой более высокие термины, из которых слагаются их определения или описания: эти от­ношения составляют «количество».

Такой двойной способ рассматривать родовой термин как це­лое, состоящее из частей, в нескольких местах отмечается Аристо­телем³³. Этот способ был известен логикам всех веков.

Так, Скот Эриугена называет логику «ars ilia quae dividit genera in species et species in genera resoluit» «искусством, которое разделяет роды на виды и распределяет виды по родам»³⁴. Джон из Солсбери говорит об этом различии как о том, что «quod fere in omnium ore celebre est, aliud scilicet esse quod appellativa [т. е. прилагательные и т. п.] significant, et aliud esse quod nominant. Nominantur singularia, sed universalia significantur» «все почти утверждают одно и то же, а имен­но: следует различать то, что апеллятивы означают, и то, что они на­зывают. Единичные объекты называются, а универсальные означаются (означиваются)»³⁵. Относительно Гийома из Оверни см. Прантль³⁶, Автор имеет перед собой длинный список подобных высказываний.

Но последователи Аристотеля сосредоточивались на разгра­ничении различных типов предикаций; они утверждали, что видо­вые различия разных родов различны, и не допускали, таким обра­зом, перекрестных делений. Однако Арно в «L'Art de penser»³⁷ полагает все предикаты, то есть все сущностные предикаты, сход­ными, не различая род (genus) и видовое отличие (differentia), он был, таким образом, вынужден посвятить краткую главу (VI) объему (1'etendue) и содержанию (la comprehension), прежде чем рассмат­ривать предикабилии.

Но его заслуги в этом вопросе были сильно преувеличены, и на самом деле, по-видимому, распространению в логике этих представ­лений способствовал Кант, который первый явным образом назвал их делением по количеству. Но это представление возникло давно. Архиепископ Томсон³⁸, В. Д. Вильсон³⁹ и Ч. С. Пирс⁴⁰ попытались выделить третью количественную меру терминов. Последний назы­вает свою третью количественную меру «информацией» и опреде­ляет ее как «сумму синтетических предложений, в которых этот сим­вол является субъектом или предикатом», антецедентом или консеквентом. Слово «символ» используется здесь потому, что ав­тор рассматривает деление по количеству как относящееся к пред­ложениям и умозаключениям, так же как и к терминам. Разграниче­ние определенности по объему и по содержанию (экстенсиональной и интенсиональной определенности) предложено Скотом⁴¹.Так, обычным следствием увеличения информации будет увеличение ши­роты термина без уменьшения его глубины или увеличение его глу­бины без уменьшения широты. Но следствием может быть также об­наружение того, что субъекты, относительно применимости термина к которым уже известно, включают широту другого термина, отно­сительно которого не было известно, что он подлежит такому включению. В этом случае увеличивается экстенсиональная определен­ность первого термина. Или же воздействие может состоять в том, что признаки, относительно возможности приписывания которых данному термину уже известно, включают всю глубину другого тер­мина, относительно которого не было известно, что он подлежит та­кому включению; тем самым увеличивается содержательная (интен­сиональная) определенность (comprehensive distinctness) первого термина. Переход мысли от более широкого к более узкому понятию без изменения глубины называется нисхождение; обратный пере­ход — восхождение. Для разных целей мы можем представлять име­ющуюся у нас информацию меньшей, чем она есть. Когда это имеет следствием уменьшение широты термина без увеличения его глуби­ны, такое изменение называется рестрикцией; точно так же, как, ког­да посредством увеличения реальной информации термин увеличи­вает широту, не утрачивая глубины, говорят, что он увеличивает объем. Таков, например, обычный результат индукции. В таком слу­чае результат называется обобщением. Уменьшение предполагаемой информации может иметь следствием уменьшение глубины термина без увеличения его информации". Это часто называют абстракцией; но значительно лучше назвать это урезанием [prescission]"'*, ибо сло­во абстракция нужно как обозначение даже значительно более важ­ной процедуры, посредством которой несамостоятельный элемент мысли превращается в независимую субстанцию, как при граммати­ческом изменении прилагательного в абстрактное существительное. Это может быть названо основным двигателем математической мыс­ли. Когда увеличение реальной информации имеет следствием уве­личение глубины термина без уменьшения его широты, наиболее под­ходящее слово для обозначения этого процесса есть амплификация. В обычном языке такое добавление информации неточно называют спецификацией вместо амплификации. Логическая операция пост­роения гипотезы часто имеет подобный результат; в этом случае он мол-сет быть назван суппозицией. Почти любое увеличение глубины может, быть названо детерминацией.

(4) Силлогистика иногда рассматривается как математика сис­темы количеств, состоящей лишь из двух величин: истина и ложь.

(5) Количество предложения есть то отношение, в котором уни­версальное предложение рассматривается как утверждающее боль­ше, нежели соответствующее частное предложение; выделяемые количества и суть Универсальное, Частное, Единичное и — в проти­воположность этим суждениям как «определенным» — Неопреде­ленное. Термин Quantitas в этом значении использовал Апулей ⁴².

* Здесь у Пирса, очевидно, описка; следует читать: ...без увеличения его широты. — Прим. перев.

** То есть «исключение из рассмотрения [некоторых признаков]». —Прим. перев.

говорящего и слушающего, соотносится с универсумом, который является индексом того, о чем говорит говорящий. Но частное пред­ложение утверждает, что при наличии достаточных средств в дан­ном универсуме нашелся бы объект, к которому был бы применим субъектный термин и к которому — как показало бы дальнейшее исследование — было бы применимо и представление, вызываемое предикатом. Когда это установлено, непосредственный вывод из этого состоит в том, что — хотя это в предложении в точности не утверждается — существует некоторый индексируемый объект* (т. е. нечто существующее), к которому применяется и сам преди­кат; так что предикат также может рассматриваться как нечто, со­относящееся с некоторым индексом. Конечно, совершенно обосно­ванно и с некоторых точек зрения предпочтительно формулировать частное предложение таким образом: «Нечто является сразу жи­телем Марса и рыжеволосым », а универсальное предложение — так: «Все, что существует в универсуме, если является жителем Марса, является также рыжеволосым». В этом случае универсальное пред­ложение не содержит никакого утверждения относительно суще­ствования; так как для говорящего и слушающего уже должно быть понятно, что универсум существует. Частное предложение в этой новой форме содержит утверждение относительно существования чего-то неопределенного, о чем объявляется, что к нему примени­мы выражения «житель Марса» и «рыжеволосый».

Универсальное предложение должно пониматься как не допус­кающее ни единого исключения. Тем самым оно отличается от пред­ложения «Отношение числа (всех) А к числу (тех) А, которые явля­ются В, есть 1:1» не только тем, что оно является дистрибутивным, а не собирательным по форме, но также и тем, что оно утверждает много больше. Так, отношение множества всех действительных чи­сел к тем из них, которые являются несоизмеримыми, есть 1:1, од­нако это не препятствует ни тому, чтобы существовали соизмери­мые числа, ни тому, чтобы их число было бесконечным. Если бы было доказано, что отношение частоты всех событий к частоте тех из них, что обусловлены естественными причинами, есть 1 : 1, это не было бы никаким аргументом против существования чудес; хотя это мог­ло бы быть (или могло бы не быть, в зависимости от обстоятельств) аргументом против объяснения любого данного события как чудес­ного, если такая гипотеза может быть названа объяснением. Индук­ция может вести к заключению, что отношение частоты видового события к родовому есть 1 : 1, в том же приблизительном смысле, в каком должны быть принимаемы все индуктивные заключения. На самом деле, отношения 1: 1 и 0 :1 могут быть индуктивно выведены с большей степенью уверенности относительно точности их вывода, нежели какое-либо другое отношение. Но вообще ни при каких обстоятельствах индукцией нельзя установить правильность или приблизительную правильность строго универсального предложе­ния, то есть что какой-либо данный ряд явленных событий является в собственном смысле слова общим (и поэтому репрезен-тирует по­тенциально бесконечный класс) или даже приблизительно общим. Такие предложения за пределами математики (понимая это слово так, чтобы оно включало все определения и выводы из них) должны или быть полностью неподтверждаемыми, или получать свое под­тверждение из какого-то иного источника, нежели наблюдение и эксперимент. Основанием [подобных предло-жений] могло бы слу­жить некоторое заявление, например, обещание какого-либо потен­циально бессмертного существа действовать определенным обра­зом при каждом случае определенного характера; и таким образом, оно не должно было бы быть априорным суждением.

370. (4) ...Декарт, Лейбниц, Кант и другие обращались к универ­сальности определенных истин для доказательства того, что они не являются полученными из наблюдения — непосредственно или посредством обоснованного вероятностного заключения. У Декарта есть только один пассаж такого рода, и даже Лейбниц, хотя он в полемике с Локком часто ссылается на необходимость определен­ных истин (т. е. утверждает, что они являются по своему модусу предложениями необходимости), однако лишь в одном месте (в пре­дисловии к «Новым опытам») специально упоминает критерий уни­версальности. Декарт, Лейбниц и Кант более или менее эксплицит­но заявляют, что то, что, по их словам, не может быть основано на наблюдениях или выведено из наблюдений посредством законномер­ного вероятностного заключения, является универсальным предло­жением в смысле (3), то есть утверждением, касающимся каждого члена общего класса без исключения. Декарт (Письмо XCIC) утвер­ждает, что нельзя прийти путем какого-либо закономерного умо­заключения от внешних явлений к такому предложению, как; «Вещи, равные одному и тому же, равны между собой», так как это бы оз­начало выведение «универсального» из «частного». Лейбниц ис­пользует почти тот же язык: «Это приводит к другому вопросу, а именно к вопросу о том, все ли истины зависят от опыта, то есть от индукции и примеров, или же имеются истины, покоющиеся на дру­гой основе... Но, как бы многочисленны ни были примеры, подтвер­ждающие какую-нибудь общую истину, их недос-таточно, чтобы установить всеобщую необходимость этой самой истины; ведь из того, что нечто

* Indicable object «объект, на который можно указать ». — Прим. перев.

произошло, не следует вовсе, что оно всегда будет происходить таким лее образом»⁵².

Кант выражался еще более однозначно: «Опыт никогда не дает своим суждениям истинной или строгой всеобщности, он сообща­ет им только условную и сравнительную всеобщность (посредством

индукции), так что это должно, собственно, означать следующее: насколько нам до сих пор известно, исключений из того или иного правила не встречается. Следовательно, если какое-то суждение мыслится как строго всеобщее, то есть так, что не допускается воз­можность исключения, то оно не выведено из опыта, а есть безус­ловно априорное суждение. Стало быть, эмпирическая всеобщность есть лишь произвольное повышение значимости суждения с той степени, когда оно имеет силу для большинства случаев, на ту сте­пень, когда оно имеет силу для всех случаев, как, например, в поло­жении все тела имеют тяжесть. Наоборот, там, где строгая все­общность принадлежит суждению по существу, она указывает на особый познавательный источник суждения, а именно на способ­ность к априорному знанию. Итак, необходимость и строгая все­общность суть верные признаки априорного знания и неразрывно связаны друг с другом»".

Но несмотря на тот факт, что в целом логика всех этих авторов, особенно Канта, требует того, чтобы слово универсальное понима­лось в этом смысле, все лее некоторые пассажи в их работах могут в какой-то степени служить оправданием грубой ошибки отдельных комментаторов, утверждающих, что под необходимостью они пони­мают непреодолимую психическую силу, с которой предложение требует нашего согласия, а под универсальностью они понимали все­общность (catholicity), то есть кафолическое* принятие предложе­ния semper, ubique et ab omnibus «всегда, везде и всеми». В особен­ности Декарт, отчасти Лейбниц, а возможно, и Кант (хотя это было бы с его стороны крайне нелогично) действительно в большей или меньшей степени придавали значение неотразимой очевидности — а в какой-то мере и экуменическому признанию — предложений, как критериям стремления убедить нас в правдивости предложений; но не как критерию их происхождения. Однако следует обратить вни­мание на то, что некоторые истолкователи Канта ошибочно исполь­зовали слово универсальное в смысле «признаваемое всеми людь­ми» — в смысле «общий» в словосочетании «общие мысли; мысли, присущие всем людям».

371. Слова универсалия и универсальность входят в различные специальные словосочетания:

...Естественная универсалия: естественный знак, предициру-емый относительно множества вещей, как дым есть знак огня. Но­миналистическое учение состоит в том, что ничто вне-разума не является универсальным в этом смысле⁵⁴.

...Универсальная сила: согласно некоторым логикам, это сила таких рассуждений, которые «рассчитаны на то, чтобы убедить все разумно рассуждающие умы»⁵⁵. Если бы автор опустил выражение «разумно рассуждающие» и сказал «рассчитаны на то, чтобы убе­дительно действовать на все умы», это не говорило бы о том, что они имеют какую бы то ни было силу; ибо сила рассуждения зави­сит от того, приведет ли оно на самом деле к истине, а не от того, что полагают, что оно приведет. Таким образом, слова «разумно рассуждающие»— единственные уместные слова в этом опреде­лении. Но в действительности не существует никакого подразде­ления логической силы на универсальную и частную...