5.Определение характеристик эргодического

СТАЦИОНАРНОГО ПРОЦЕССА, ЗАРЕГИСТРИРОВАННОГО

В ТЕЧЕНИЕ КОНЕЧНОГО ИНТЕРВАЛА ВРЕМЕНИ

ТИПОВАЯ ЗАДАЧА С РЕШЕНИЕМ

Задана реализация стационарного эргодического случайного процесса х(t) при некотором времени наблюдения этого процесса T. Определить оценки математического ожидания процесса , корреляционной функции процесса , а также его дисперсии ( ).

Цель предложенного задания – закрепить принцип решения одной из задач статистики случайных процессов: определения характеристик эргодического процесса по одной его реализации, регистрируемой в течение достаточно длительного времени. Xарактеристики такого процесса , как правило, определяются в темпе самого процесса с помощью специальной аппаратуры, реализующей алгоритмы, рассмотренные ниже. В задании при аналитическом представлении процесса предполагается найти характеристики этого процесса также аналитически.

Очевидно, что эти характеристики будут зависеть от времени наблюдения процесса: чем больше это время, тем с большей точностью они определяются.

Несмещенная и состоятельная оценка математического ожидания эргодического процесса определяется как

. (5.1)

Несмещенная и состоятельная оценка корреляционной функции эргодического процесса при его единственной реализации x(t), будет

(5.2)

Аппаратные или программные средства при регистрации эргодического процесса реализуют для определения его характеристик выражения (5.1), (5.2).

1. x(t)=sint, T=6.

Решение

,

При , .

Оценка дисперсии в последнем случае будет:

Рис.5.1

На рисунке 5.1 приведена зависимость от параметра w=. Из рисунка видно, что зависимость носит колебательный характер с периодом w=2.

2. x(t)=exp(-t²/2)cost, T=3 ч.

Решение

В рассматриваемом примере интегралы (5.1) и (5.2) не определяются аналитически и могут быть вычислены лишь с помощью любого численного метода. При заданных параметрах процесса =0.254 ч., зависимость приведена на рис.5.2.

Рис.5.2

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО РАЗДЕЛУ 5

При заданных стационарном эргодическом процессе X(t) и времени его наблюдения Т определить оценки его математического ожидания , корреляционной функции и дисперсии . Построить зависимость при заданном времени наблюдения процесса. При построении диапазон значений  принимать несколько меньшим времени Т.

Номер варианта	X(t)	Параметры X(t)	T
1	a + sint	a=1	T=3
2	cost	-	T=6
3	a + cost	a=1	T=6
4	sin(t + 4)	-	T=6
5	cos(t + 4)	-	T=6
6	exp(-t)sint	 1/ч	4 ч
7	a + exp(-t)sint	a=1;  1/ч	4 ч
8	exp(-t)cost	 1/ч	4 ч
9	a + exp(-t)cost	a=1;  1/ч	4 ч
10	exp(-t)sin(t+/4)	 /ч	3 ч
11	exp(-t)cos(t+)	 /ч	3 ч
12	exp(-t2)sint	 1/ч2;  1/ч	2 ч
13	exp(-t2)sin(t + /4)	 1/ч2;  1/ч	2 ч
14	exp(-t2)cos(t + /4)	 1/ч2;  1/ч	2 ч
15	exp(-t)t	 1/ч	4 ч
16	exp(-t)(t+1)	 1/ч	4 ч
17	exp(-t2)t	 1/ч2	2 ч
18	exp(-t2)(t+1)	 1/ч2	2 ч

Литература

1.Кадомская К.П., Костенко М.В., Левинштейн М.Л. Теория вероятностей и её приложения к задачам электроэнергетики. С.Пб.: Наука.-1992.-376 с.

25