3.2. Определение оптимальной системы при незаданной её структуре. Уравнение винера-хопфа

ТИПОВАЯ ЗАДАЧА С РЕШЕНИЕМ

Найти оптимальную передаточную функцию линейной системы, представляющую собой фильтр с упреждением на время t₀ . На вход системы поступают полезный сигнал и помеха, характеризуемые корреляционными функциями ()= e^{} = , соответственно.

Решение уравнения Винера-Хопфа позволяет получить следующее выражение для оптимальной передаточной функции линейной системы, обеспечивающей минимум дисперсии ошибки на выходе системы (предполагается, что система астатическая, т.е. M[U]= 0):

H(p)= , (3.13)

где V(t)=X(t) + U(t) – суммарный сигнал на входе линейной системы,

S_VV(p)= – факторизация спектральной плотности суммарного сигнала на входе линейной системы,

Z(t) – желаемый сигнал на выходе линейной системы,

S_XZ(p) – взаимная спектральная плотность между случайными процессами на входе X(t) и выходе Z(t) системы.

Обозначим Ф(p) и представим Ф(р) в виде:

Ф(р)=Ф₊(р) + Ф_-(р), (3.14)

где Ф₊(р) и Ф_-(р) – составляющие, содержащие левые и правые полюса Ф(р) соответственно. Эти составляющие при условии могут быть определены с помощью выражений:

Ф₊(р) = - , (3.15)

Ф_-(р) = - , (3.16)

где р_к+ и р_к- - левые и правые полюса Ф(р), соответственно.

В рассматриваемом примере оптимизации структуры фильтра помехи c упреждением Z(t)=X(t+t₀), G(p)= , S_VX(p)=S_XX(p) и выражение (3.13) переписывается в виде

H(p)= , (3.17)

где S_VV(p)=S_XX(p)+S_UU(p)= + c²= . (3.18)

Осуществляя факторизацию (3.18), получаем

, (3.19)

где . (3.20)

Следовательно, в рассматриваемом примере

Ф(р)= . (3.21)

Выделяя составляющую Ф₊(р), будем иметь

Ф₊(р)= . (3.22)

Подставив (3.19) и (3.22) в (3.17), получим

H(p)= , (3.23)

где .

Из выражения (3.23) видно, что оптимальным линейным звеном, осуществляющим задачу фильтрации сигнала от помехи с упреждением, является интегрирующее звено. Если ориентироваться на пассивную электрическую схему, то линейная система может иметь вид, показанный на рис.3.4

Рис.3.4

В этой схеме , . (3.24)

Величины  и А зависят от характеристик корреляционных функций полезного сигнала и помехи, которые предполагаются известными. Следовательно, на основании двух выражений (3.24) должны быть определены три параметра схемы рис.3.4. Поэтому один из этих параметров может быть принят произвольно, исходя из каких-либо соображений; два других же параметра определятся из выражений (3.24).