3. Применение теории стационарных процессов

К ЗАДАЧАМ, СВЯЗАННЫМ С АНАЛИЗОМ И СИНТЕЗОМ

ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

1. Оптимизация линейной системы при заданной её структуре

ТИПОВАЯ ЗАДАЧА С РЕШЕНИЕМ

Найти значение постоянной времени линейной системы, отвечающее минимуму дисперсии ошибки на выходе этой системы, являющейся фильтром. Рассмотрим в качестве линейной системы простейшее интегрирующее звено (рис. 3.1).

Рис. 3.1

Решение

Ошибка на выходе системы обусловлена тем, что на вход системы поступает не только полезный случайный процесс X(t), но и помеха, также представляющая собой случайный процесс U(t) (рис.3.2).

Рис. 3.2

Таким образом, на вход системы поступает суммарный сигнал

V(t) = X(t) + U(t). (3.1)

На выходе системы вместо желаемого сигнала Z(t) возникает сигнал Y(t). Таким образом, ошибка на выходе системы определяется как

E(t) = Z(t) – Y(t). (3.2)

Операторное изображение желаемого сигнала на выходе системы связано с операторным изображением полезного сигнала на её входе с помощью выражения

Z(p) = X(p)G(p) , (3.3)

где G(p) – передаточная функция системы при условии отсутствии помехи.

Операторное изображение истинного сигнала на выходе системы связано с операторным изображением суммарного сигнала на её входе с помощью передаточной функции H(p):

Y(p) = V(p)H(p). (3.4)

Операторное изображение ошибки с учетом приведенных выше выражений определится как

E(p) = X(p)[G(p)-H(p)] – U(p)H(p). (3.5)

При решении задачи фильтрации помехи Z(t)=X(t) и G(t)=1. Как правило, систематическая ошибка на выходе системы отсутствует (такая система называется астатической). Поэтому критерием оптимальности системы может, в частности, служить минимум дисперсии ошибки на её выходе. Для определения дисперсии ошибки предварительно целесообразно определить корреляционную функцию cтационарного процесса на выходе (K_YY(0)=D_Y). При заданных корреляционных функциях полезного случайного процесса и помехи на входе и заданной структуре передаточной функции линейной системы D_Y будет зависеть лишь от параметров этой системы, которые и надлежит определять, исходя из требования минимизации ошибки на выходе системы.

При решении этой задачи целесообразно воспользоваться понятием спектральной плотности случайного процесса, которая в рассматриваемом случае фильтрации помехи определится как

S_EE(p)=S_XX(p)(1-H(p))(1-H(-p)) + S_UU(p)H(p)H(-p). (3.6)

Затем с помощью обратного двустороннего преобразования Лапласа [выражения (2.3) и (2.4)] определяется K_EE() и, наконец, D_E.

В рассматриваемом примере примем, что на вход системы рис. 3.1 поступает полезный стационарный случайный процесс, характеризующийся корреляционной функцией K_XX()=D_Xe^{}и помеха, представляющая собой белый шум – K_UU()= ,где ₁() – импульсная функция первого рода (функция Дирака). Спектральные плотности этих процессов запишутся в виде:

S_XX(p)= S_UU(p)=c². (3.7)

Передаточная функция интегрирующей линейной системы (рис.3.1) будет

H(p)=/(p+), где =1/RC. (3.8)

Спектральная плотность ошибки в соответствии с выражением (3.6) определится как

S_EE(p)=- (3.9)

Переходя в (3.9) к оригиналу при  [выражение (2.3)],получим

K_EE()= (3.10)

Полагая в (3.10) =0, получим

D_E= (3.11)

При заданных параметрах корреляционных функций K_XX() и K_UU() величина дисперсии D_E зависит лишь от параметра линейной системы =1/Т ( Т=RC – постоянная времени схемы рис. 3.1). Зависимость D_E=f() при D_X=2, =1 1/с, с=0.5 в рассматриваемом случае приведена на рис.3.3. Из рисунка следует, что при некотором значении  наблюдается минимальная дисперсия ошибки, т.е. при заданных характеристиках полезного сигнала и помехи на входе системы последняя при этом значении T=1/ является оптимальной.

Рис.3.3

Значение , отвечающее D_Emin, можно получить и аналитически, взяв производную по  от выражения (3.11) и приравняв её нулю. Выражение для _опт при этом имеет вид

_опт (3.12)

В рассматриваемом примере _опт=3 1/с и соответственно Т_опт=1/3 с.

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ПРОДРАЗДЕЛУ 3.1

Задание 3

Во всех вариантах задания найти значение постоянной времени линейной динамической системы, отвечающее минимуму дисперсии ошибки на выходе системы. Корреляционная функция полезного сигнала на входе системы описывается выражением K_XX()=D_Xe^{} (D_X=1, величина  определена в вариантах задания).В вариантах заданияприняты два вида корреляционной функции помехи: функция того же вида,что и функция полезного сигнала: K_UU()=D_Ue^{} (D_U=2, 2 1/c; в вариантах задания обозначена как функция № 1), и корреляционная функция случайного процесса вида "белый шум" K_UU()= (с=0.5; в вариантах задания обозначена как функция № 2).

В заданиях рассматривается 8 пассивных линейных динамических систем, процессы в которых описываются линейными дифференциальными уравнениями первого порядка.

Варианты линейных систем

№1. № 2.

№ 3 № 4

№ 5 № 6

№ 7 № 8

Номер варианта	, 1/с	Номер KUU()	Номер схемы
1	0.25	1	1
2	0.25	2	2
3	0.50	2	3
4	0.50	1	4
Номер варианта	, 1/с	Номер KUU()	Номер схемы
5	0.50	2	4
6	1.00	1	5
7	1.00	2	5
8	1.00	2	6
9	0.75	2	7
10	0.75	1	8
11	0.75	2	8
12	0.25	1	5
13	0.25	2	5
14	1.00	2	6
15	0.75	2	7
16	0.75	1	8
17	0.75	2	8
18	1.50	1	4