1.3 Раскрытие неопределенности вида ∞-∞.

Такую неопределенность фиксируем, если имеем разность двух бесконечно больших функций, которые стремятся к бесконечности с «примерно» одинаковой скоростью. Например, в разности нет неопределенности ∞-∞. Несмотря на то, что и , и при , но они стремятся к бесконечности с разной скоростью (очевидно, что при достаточно больших выражение гораздо больше, чем ). Поэтому здесь уменьшаемое «подавляет» вычитаемое, и такая разность будет стремиться к +∞. А вот в выражении снова и , и оба стремятся к бесконечности, но порядок их стремления «примерно» одинаков, равен (у подкоренного выражения старшая степень, определяющая рост -- , так как «довесок» очень незначительная прибавка по сравнению с , и ей можно пренебречь; поэтому выражение стремится к бесконечности «приблизительно» как ). В этом случае фиксируется неопределенность ∞-∞.

Неопределенность такого вида возникает, как правило, либо при исследовании разности двух дробей (в этом случае нужно привести дроби к общему знаменателю), либо при рассмотрении разности двух иррациональных выражений. В последнем случае нужно домножить и разделить на выражение «сопряженное» к данному, то есть добавить до формулы разности квадратов или до разности (суммы) кубов, чтобы избавиться от корней, создающих неопределенность.

Пример 1.4. Вычислить

Решение. При числитель стремится к -∞, а в знаменателе стоит разность двух слагаемых и , которые стремятся к бесконечности «примерно» одинаково как , так как -3 и +3 не играют существенной роли на бесконечности. Поэтому в знаменателе фиксируем неопределенность ∞-∞, и нам нужно сначала избавиться от нее. Для этого преобразуем знаменатель (раскроем скобки), получим

Теперь видно, что знаменатель тоже стремится к -∞, а, значит, во всей дроби неопределенность . Мы уже знаем, для того чтобы от нее избавиться нужно вынести за скобку в числителе и знаменателе неизвестное в наибольшей степени:

Пример 1.5. Вычислить

Решение. Здесь имеем дело с разностью двух слагаемых, которые стремятся к бесконечности. При этом скорость роста первого слагаемого определяет (мы уже отмечали, что в выражении вторым слагаемым можно пренебречь, так как при оно незначительно по сравнению с ). Следовательно, в этом примере также неопределенность ∞-∞. Так как исходное выражение содержит иррациональность (корень квадратный), то для избавления от неопределенности дополним исходное выражение до формулы разности квадратов . Для этого домножим и разделим (чтобы ничего не изменилось) на выражение сопряженное к данному:

Тогда в числителе мы искусственно создали формулу разности квадратов, применяя ее, получим

Теперь, очевидно, числитель и знаменатель стремятся к бесконечности. Значит, пришли к неопределенности . Действуем далее как обычно при такой неопределенности, выносим в числителе и знаменателе неизвестное в наибольшей степени. В числителе это , в знаменателе вынесем старшую степень сначала под корнем . Теперь под корнем стоит произведение, и мы можем воспользоваться свойством арифметического корня, о котором уже вспоминали выше: . Получим . В знаменателе теперь два слагаемых и , они оба стремятся к бесконечности со скоростью . Тогда

Пример 1.6. Вычислить:

Решение. Перед нами снова разность двух бесконечно больших последовательностей, у которых скорость стремления к бесконечности . То есть, имеем дело с неопределенностью ∞-∞. Так как заданное выражение содержит иррациональность (корень кубический), то для избавления от неопределенности дополним исходное выражение до формулы разности кубов . Для этого домножим и разделим (чтобы ничего не изменилось) на выражение, представляющее собой неполный квадрат суммы для и . Получим

Свернем числитель по формуле разности кубов

Теперь числитель и знаменатель дроби стремятся к бесконечности, то есть пришли к неопределенности . Вынесем за скобку в знаменателе под каждым корнем старшую степень

Далее разобьем корень из произведения на произведение корней

Подставляя полученное преобразование в знаменатель дроби, получим

Так как при , то , , . Следовательно, знаменатель стремится к 3, при этом числитель к бесконечности. Значит, последнее равенство справедливо, так как .