МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Е.Р.Ляликова, л.И.Спинко функции: предел и непрерывность

Методическое пособие для студентов 1-го курса направлений

«Экономика», «Прикладная информатика в экономике» экономического факультета ЮФУ

Ростов-на-Дону

2012

Е.Р.Ляликова, Л.И.Спинко

Функции: предел и непрерывность.

Методическое пособие для студентов 1-го курса направлений «Экономика», «Прикладная информатика в экономике»

экономического факультета ЮФУ. – Ростов-на-Дону, 2012.

Настоящее методическое пособие предназначается для студентов 1-го курса экономического факультета ЮФУ направлений «экономика», «прикладная информатика в экономике», «бизнес-информатика». Данное пособие может быть использовано для отработки практических навыков при решении задач по темам: пределы функции, непрерывные функции, изучаемых в рамках курса «Математический анализ». Оно будет полезно в процессе изучения данного материала в аудитории, и, вместе с тем, окажет существенную помощь при самостоятельном изучении вышеуказанных разделов. Оно содержит необходимый теоретический материал, большое количество подробно разобранных примеров, а так же примеров для самостоятельного решения, к которым приведены ответы.

Рекомендуется студентам вышеназванных специальностей в качестве основного материала для практических занятий.

Печатается в соответствии с решением кафедры математического анализа факультета математики, механики и компьютерных наук ЮФУ, обеспечивающей преподавание курса «Математический анализ», протокол №6 от 24.02.2012.

Рецензент: кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры математического анализа ЮФУ Ю.А.Кирютенко

§1 Предел функции и числовой последовательности

1.1 Основные определения и теоремы. Напомним сначала определения функции и числовой последовательности.

Определение 1.1. Пусть Х,У-числовые множества. Если по некоторому закону (или правилу) каждому элементу ставится в соответствие единственный элемент , то говорят, что на множестве Х задана функция . При этом Х называется областью определения функции, У- множеством значений, -аргументом функции . Обычно пишут .

Определение 1.2. Функция, заданная на множестве N(множество всех натуральных чисел) называется функцией натурального аргумента или числовой последовательностью и обозначается .

Из определения 1.2 следует, что числовая последовательность – это частный случай функции. Поэтому все рассуждения далее можно вести только для функций, понимая, что для последовательности они будут автоматически справедливы.

Определение 1.3. Пусть -точка сгущения множества Х. Величина А, которая является либо числом, либо символом +∞ (-∞), называется пределом функции при , если для любой окрестности числа А ( ) найдется окрестность точки ( ) такая, что

. И пишут .

Определение 1.4. Функции, предел которых равен +∞(-∞) при называются положительные (отрицательные) бесконечно большие при . А функции, предел которых равен нулю при называются бесконечно малыми при .

Следует отметить, что есть такие числовые последовательности и функции, у которых предел не существует. Например , так же .

На практике при вычислении пределов используют свойства бесконечно больших и бесконечно малых функций, теорему об их связи и теорему об арифметических операциях с пределами.