1.2 Сходимость знакопеременных рядов.

1.3Исследование ряда на абсолютную и условную сходимость.

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Южный Федеральный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

функциональные ряды.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.02.2015

Размер:

290 Кб

Скачать

☆

1 / 41 2 3 4 > Следующая >>>

Министерство образования РФ

РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

А.В.Абанин, Т.И.Коршикова, Л.И.Калиниченко, Л.И.Спинко

РЯДЫ

Методические указания к лабораторным занятиям по математическому анализу

для студентов 2 курса механико-математического факультета РГУ

Ростов-2на-Дону

2004 г.

Данные методические указания предназначены для студентов 2 курса механико-математического факультета РГУ. Содержат необходимый теоретический материал и примеры практического характера. Могут быть использованы преподавателями на лабораторных занятиях.

Методические указания печатаются в соответствии с решением кафедры математического анализа РГУ, протокол № 4 от 2003 года.

1 Числовые ряды и их4сходимость.

Пусть задана числовая последовательность {an}. Символ

	· · ·		· · ·		∞
a1 + a2 +	· · ·	+ an +	· · ·	(или короче	nP	an) называется числовым рядом.
					=1

Сумму n первых членов ряда (n N) : Sn = a1 + a2 + · · · + an, называют n-ной частичной суммой ряда. Если последовательность {Sn} сходится, то

ряд называют сходящимся, а число S = lim Sn — его суммой, при этом
пишут: S =	∞	an. В противном случае ряд называют расходящимся.
	nP
	=1

1.0.1. Используя определение сходящегося (расходящегося) ряда изучите сходимость ряда:

∞

(−1)n−1

−

∞

(an − an−1) ,

∞

n(n + 1)

∞ ln 1 + n1

∞ tg n + 1

tg n + 2

−

n + 1

∞

11)

− arcsin

−

) ,

(arcsin

∞

( 1)n−1

13)

−

3n 1

−

15)

∞

2n − 1

∞

−

∞

sin

n + 1 −

∞ √

√

( n + 1 −

n) ,

∞

(3n

−

2)(3n + 1)

∞

22n−1

−

10)

∞ √

√

n + 2 − 2 n + 1 + n ,

12)

∞

14)

ln(1 − n2 )

∞

16)

sin

2n · cos 2n .

Имеются различные признаки, позволяющие устанавливать сходимость или расходимость изучаемого ряда. Однако следует помнить, что исследование ряда целесообразно начинать (если это не очень трудно) с проверки необходимого признака сходимости.

∞

Пример 1.1. Исследовать сходимость ряда P sin(αn), если α 6= πk,

n=1

k Z.

B Докажем, что общий член ряда sin αn 9 0 при n → ∞. Действительно, если бы sin(αn) → 0, то и sin α(n + 1) → 0 при n → ∞.

Но sin α(n + 1) = cos α sin αn + sin α cos αn. Поэтому cos αn → 0 при n → ∞,

чего быть не может, поскольку sin2 αn + cos2 αn = 1. C

1.0.2. Пользуясь критерием Коши или необходимым признаком сходимости ряда, исследовать сходимость ряда:

∞

cos nx

∞

cos nx − cos(n + 1)x,

∞

nX q

n(n + 1)

∞

n − 1

n + 1

∞

1 1 1 1

1 + 2 − 3 + 4 + 5 − 6 + · · · +

∞

sin n

n(n + 1)

∞

cos an

n=1 u

5n + 1 ·

+ 1

X t

3n5 + 4

arcsin

∞ v

∞

n3 + 1

· arcsin n2 + 1,

=1 2n + 3

−

+ · · ·.

3n − 2

3n − 1

1.1 Сходимость положительных6 рядов.

∞

При изучении положительных рядов P an, где an ≥ 0, n N, часто используются следующие неравенства: n=1

1)1 < ln n < nα (α > 0), n > n0;

2)an > nα, если a > 1, α R, n > n0;

3)en < n! < nn или, что то же самое, n < ln(n!) < n ln n.

Помимо необходимого признака сходимости положительного ряда, часто используются признак Маклорена-Коши и признаки сравнения (см. [1], стр. 506-527; [2] стр. 262-266, стр. 281-285).

1.1.1. Исследовать сходимость следующих рядов:

∞

n ln n

∞

√

n ln

∞

5 cos2 nπ3

−

1)n

n2 + (

∞

ln2 n

√n + 1 sin n,

∞

5 + 3(−1)n

∞ ln n + sin n

11) n=1 n2 − 2 ln2 n,

∞ (3n + n5)

13) √ ,

n=1 e n

∞1

2)X √ , n=1 n n

∞

ln n

√n + 2 sin √n,

∞

n ln n(ln ln n)p ,

∞ sin2 n

n2 ln n

10)

∞

arctg n

n2 + ln n

∞

n + 1

12)

n2(4 + 3 sin nπ )

14)

∞

2n sin

15)

∞

sin n1 cos n1

lnα n + 5

∞ 1 − cos

√

17)

4n + ln n

19)

∞

5ln n

∞ √

− √

n + 1

21)

nα

∞

arctg10 n

23)

√3

25)

∞

nα

2n + 1

√

∞

27)

√3

ln n· 2√3

−

n + 1 +

∞ ln 1 +

cos2 √

29)

n√n

∞

31)

√ln n,

33)

∞

2sin n − 1

n ln n

ln n

∞

ln(cos √

)

16)

n + sin

√

∞

n15 + 1

18)

2√

+ n5 ,

∞ arcsin

√

20)

nα

−

∞

22)

(α ≥ 0),

sin nα

√

− 1

24)

∞ sin10 n

n + 1

∞ ln cos

√

26)

ln10 n

∞

2n+1

28)

sin 3n−1

n4 ln n

30)

∞

√

cos

1α

−

32)

∞ (n1/n − 1),

∞ cos

− 1

√

34)

lnα n

Часто применение предыдущих признаков затруднительно и более удобно применять признаки Коши и Даламбера (см. [1], стр. 218-221, или

8 [2], стр. 270-272). Отметим, что признак Коши "сильнее"признака Далам-

бера (он применим к более широкому классу рядов). Именно, можно пока-

зать, что если существует

lim (an+1/an) = q, то существует lim

√n

= q.

n→∞

Обозначим Kn =

√n

, Dn

an+1

∞

−

Пример 1.2. Исследовать сходимость ряда

(3 + (

1) )

если n = 2k,

= Kn =

если n = 2k

−

если n = 2k

−

lim

Kn = 21 < 1 и ряд сходится согласно признаку Коши.

В то же время признак Даламбера не позволяет сделать определённого

вывода о сходимости изучаемого ряда, так как

D2k−1 =

, D2k = 22k−1, а значит lim Dn = 0, lim Dn = +∞.

22k+1

1.1.2. С помощью признаков Даламбера и Коши исследуйте сходимость

следующих рядов:

∞

(2n)!

n=1

∞

2nn!

2n2

(2n)!

n=1

∞

2n−1

∞

nn! ,

n=1

3n + 1

∞

(√

+ (−1)n)n

∞

(2n)!!

n=1

∞

3nn!

10)

∞

(2 + (−1)n)n

n=1

∞

2 + ( 1)n

∞

ln n

11)

−

12)

n=1

3n + 1

13)

∞ n

3n + 2n

14)

∞

sin n1

5 + (

−

n=1

−

15)

∞ arcsin

16)

∞ sin5

+ n

n=1

17)

∞

18)

∞

2ln n

lnn n

3n + 1

n=2

∞

ln100 n

∞

(√

+ 2)n

19)

20)

(1 + 1 )n2

n=1

sin2 n

− 1)2

21)

∞

22)

∞

−

n=1

23)

∞

(2 +nsin nπ4 )n ,

24)

∞

−

5 ln n

2n + 1

n=2

2ln n

n+1

25)

∞

(a > 0),

26)

∞

2 n

− 2

an + 1

−

n=1

∞

(2n + 1)!!

· · · · ·

27)

√n arctg n,

28)

(3n + 1),

n=1

=1 1

29)

∞

2· 5· · · · · (3n + 2)

30)

∞

arctg(n2 − n)

3n + n

n=1

(√

31)

∞

3· 6· · · · · (3n)

arcsin

32)

∞

2)n − 1

lnn n

−

n=2

∞

√

∞

2n+1

33)

2 −

2)( 2 −

2) · · · (

2 − 2),

34)

=1(

n=1 n!(2, 7)n+1 .

Приведём ещё один способ исследования сходимости числовых рядов, основанный на применении формулы Тейлора. Для того, чтобы им пользоваться, следует вспомнить разложения по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пеано функций ex, sin x, cos x, ln(1 + x) и (1 + x)α в окрестности точки x = 0 (см. [1], стр. 192-195, или [3], стр. 251-254).

					nX		−
Пример 1.3. Исследовать сходимость ряда					∞ 1				ln n 2n.
					=1
B Данный ряд положителен и
an = 1	−	ln n	2n = exp	2n ln 1		−		ln n		.
	−	n				−			n

Так как lim ln n = 0, то по формуле Тейлора для функции ln(1+x) получаем при n → ∞ :n

ln n

ln2 n

+ o

ln2 n

− n

− 2 n

= exp

2 ln n

−

ln2 n

+ o

ln2 n

−

ln2 n

+ o

ln2 n

e− n

= an

, n

→ ∞

ln2 n

(здесь мы воспользовались тем, что lim

= 0 и, тем более,

ln2 n

lim o = 0). Согласно признаку сравнения исходный ряд сходится. C n2

∞

Пример 1.4. Исследовать сходимость ряда

√n − 1

− sin

√

В данном примере сразу трудно сказать является ли данный ряд

положительным. Поскольку lim

= 0, то, используя формулу Тейлора

√

для функций ex и sin x, получаем при n → ∞ :

= 1 +

+ o

√n 2n

n −

− √n

Отсюда следует неотрицательность членов исследуемого ряда, начиная с некоторого номера (покажите!), и его расходимость в силу признака сравнения. C

1.1.3. С помощью формулы Тейлора исследуйте сходимость рядов:

∞

√

− sin √

∞ e

1 + 1 n ,

−

∞

n + 1

sin n − ln

∞

3n − 2n

∞ π22

+ cos

1 ,

n −

∞ e

√4

11)

−

− √n

−

2√n

∞

ln n

nn2+1 − 1

∞

−

1 +

√n

∞

uln

n + 1

√n

n=1

− u

∞

8) (√n + 1 −

√n2 + n + 1),

∞ cos n1 − e−

10)

2n2

∞

n + 1

12)

−

sin n

13) ∞ n

n2 ln(1 +

) ,

14)

∞

1 − n sin

−

n sin

n=1

∞

an сходится, если

1.1.4. Найти α, при которых ряд

1) an =

−

n sin

α,

2) an

= e−

−

cos

α,

2n2

3) an =

ln n + ln sin

4) an

= (√

√

)α,

n + 1

−

(arctg

1 α

)

5) an =

6) an =

n ln2(1 + nα)

ln(1 + n + n2)

1.1.5. Для отработки навыков исследования положительных рядов рекомендуем решить следующие примеры различной степени трудности:

∞√

1)X n n + 1,

n=1

∞

=1 ln100 n + 3sin n ,

∞

√

5n + 3 n + 1

=1 4(√n + 1)√n + 1

n+1

√

− 2

∞

ln n

∞

ln(n + 1) − ln n

n + ln n

11)

∞

arctg15 n

ln n

	∞					1
2)	nX q								,


	=1			3n(3n + 1)
4)	∞		ln n				,
4)	nX						,
	nX	2n + n
	=2	2n + n
	=2
	∞				n
	nX
6)	nX	3	n		−	n ,
	=1	3				2
	=1
			n+1
8)	∞	2 n − 2						,
8)	nX	2 n − 2						,
	nX			ln2 n
	=2			ln2 n

∞ sin n−1

10) X n ,

n=2 n3 ln n

∞sin2 1

12)X √ ln n ,

n=2 n + 2

arcsin

∞

√

13)

(3n + 1) ln n

∞

arctg ln n

15)

−

n 1

−

∞

2 + sin n

17)

√n3 + ln n,

∞

cos100 n

19)

n√n ,

∞

21)

(nn2 − 1),

∞

ln10 n

√

23)

ln n,

−

√n

=2 3n

∞

4n + 2n

25)

=2 ln n· 5n + 5n,

27)

∞

2n − 1

lnn n

−

∞

√

29)

n(1 − cos nα ),

∞ √3

− √3

31)

n + 1

n − 1

nα

∞

33)

e√

∞

14)

√ln n,

∞

3n sin n1

16)

=1 n + √n,

∞

18)

arcsin

· ln n,

∞

20)

ln(1 +

2√

)· √n n,

∞

3n + 1

22)

=1 2n + 3 sin √n,

24)

∞

πn

ln n,

26)

∞ ln 1 +

sin2 n

n√n

28)

∞

√

ln(1 +

ln n

∞

30)

nα + n,

∞ √

+ √

n + 1

32)

−

ln n

∞

sin2 √4

−

34)

√n3

+ 1

√n,

35)

∞

en+1 − 1 ,

√

∞ v

37)

sin

n + 1

n(n + 2)

nX u

∞

√

√3

39)

( n + 1 −

n),

∞ √3

n4 + ln n

41)

−

n6 + 2 n

43)

∞

ln2(5n + 1)

+ 1

45)

∞

n100 − 1

=1 2√n+1

47)

∞ 1

ln n n,

−

49)

∞

ln−4 sin

51)

∞

n + 1

−

ln n

∞

n2 ln n

53)

−

n ,

∞arctg5 n

55)X 2√n + 1,n=1

∞

36)

2− ln n+1,

38)

∞ ln

n3 + 2

n2 + 1

∞ √3

40)

n=1

∞

ln(2n + 5)

42)

√n3

+ n

−

∞

n ln(n + 2)

44)

√3

+ 3

∞

ln−100(2n + 1),

46)

48)

∞

(cos

)n2 ln n,

∞

50)

sin n ln(n + 3),

52)

∞

3n + 3−n − ln n

5n + sin n

54)

∞

sin2(n!)

n2 ln n

56)

∞

tg n1

=2 ln

∞

57)

√n arctg n,

∞ 2n arcsin 1

59)

n +

√4

∞

61)

(nn − 1),

ln n

63)

∞ e

− 1 ,

65)

∞

3n arctg

67)

∞ n tg

69)

∞

ln(n!)

71)

∞

=1 n

∞ √

− √

73)

n + 2

n − 2

nα

∞

lnα n

75)

=2 ln2(n + 1)√n3 + 1

77)

∞

ln(n + 2) − ln n

nα + 2cos n

X n=1

∞

sin20(2−n)

58)

−

3n 1 ,

n + 2 n

n=1

60)

∞ ln

vcos

∞ arccos

√

62)

=1 an + ln2 n

64)

∞

ln n

∞

sin

− 1

66)

n ln n

67)

∞

3n + ln5 n

nα + 1

70)

∞

arctg(n!)

∞

72)

=2 n

α+ 2

ln n

∞

√

n + 1

74)

nX q

n5 + ln(n + 2)

76)

∞ ln 1 +

cos2n1

n ln

78)

∞ n ln

1 + cosnα n ,

∞

cos10(n4)

79)

−

√3 n6

−

n + 1

∞

(√

+ (−1)n)n

81)

n2,

∞

1 + 2n

83)

· n ,

−

=1 5n + 3

∞

sin6(3n2)

85)

=1 n(ln2 n + ln n + 1)

∞ √

−

√

cos 2−n,

80)

n + 2

n + 1

√n

−

∞

(1 + √

cos nπ )2n

82)

32n

84)

∞

ln n

cos

nα

3n + 2

∞ √

√

n + 1

86)

−

( n + 1

ln n

Обратимся теперь к вопросу о сходимости рядов, члены которых имеют произвольные знаки (см. [1], стр. 518-540 или [2], стр. 293-318). Если члены ряда не все положительны, но, начиная с некоторого, становятся положительными, то отбросив достаточное количество первых членов ряда, сведем задачу к исследованию положительного ряда. Если же все члены ряда, начиная с некоторого места, отрицательны, то, почленно умножая ряд на (-1), снова придем к исследованию сходимости положительного ряда (см. [1], стр. 504-506 или [2], стр. 260-261). Таким образом, существенно новым случаем будет тот, когда среди членов ряда есть бесконечное число как положительных, так и отрицательных членов.

При исследовании вопроса о сходимости знакопеременных рядов полезными бывают признаки Лейбница, Абеля и Дирихле (см. [1], стр. 521-523, 536-539 или [2], стр. 302-308). При применении этих признаков необходимо показывать монотонное убывание некоторой последовательности {cn}. Если монотонность {cn} не очевидна, то используют следующий факт.

Пусть функция f : [1, +∞) → R такова, что f(n) = cn(n ≥ 1). Если функция f монотонна на [1, +∞), то и последовательность {cn} монотонна.

Аналогично, если lim f(x) = 0, то lim cn = 0 (докажите оба эти факта!).

x→+∞

B Ряд знакочередующийся. Покажем, что он является рядом лейбни-

√

цевского типа. Пусть f(x) = ln x· ( 3 x + 1)−1. В силу правила Лопиталя

ln x

lim x−31

lim

= lim

= 3

= 0.

x→+∞

√3 x + 1

x→+∞ 31 x−2/3

x→+∞

ln n

Поэтому lim an = lim

√3

+ 1

= 0. Далее, так как

f0(x) =

3 −

√3

(ln x − 3)

< 0

x(> x

2),

3(√3 x + 1)2· x

0 ≥

то f монотонно убывает на (x0, +∞), а {an} монотонно убывает при n >

n0(n0 ≥ x0).

В силу сказанного ряд сходится. C Выше нами было показано применение формулы Тейлора к изучению вопроса о сходимости положительных рядов. Формула Тейлора оказывается полезной и при исследовании сходимости знакопеременных рядов в случаях, когда применение признаков Лейбница, Абеля и Дирихле затруд-

нительно или невозможно.

−

Пример 1.6. Исследовать сходимость ряда

∞

(−1)n−1

=1 √n + ( 1)n ln n

B Используя формулу Тейлора для функции (1 + x)−1, получаем

an =

(−1)n−n

= (−1)

−

1 + ( 1)n ln n −

√

+ (−1) ln n

√

−

√

(−1)n−1

( 1)n

ln n

+ o

ln n

(−1)n−1

ln n

+ o

ln n

√n

− −

√n

при n → ∞.

Исходный ряд является суммой следующих двух рядов:

∞ (−1)n−1

∞ ln n + o ln n .

√

n=1

18 Первый из них сходится как ряд лейбницевского типа (проверьте!).

Исследуем второй, обозначив его члены через bn.

ln n

bn =

+ o

ln n

при n → ∞.

Отсюда, в частности, следует, что bn > 0 n(> n0). Поскольку,

≥ n

≥

ln n

3, то ряд

∞ bn расходится. Следовательно, исходный ряд

расходится.

1.2.1. Исследуйте сходимость следующих знакопеременных рядов:

∞

(−1)n−1

n + 2

∞

(−1)

arcsin n,

∞

sin nπ6

n + ln n

∞

cos nπ4

n + 1

arctg n,

∞

(−1)

sin 3n cos n,

∞

√

+ 1

11)

(−1)

√

arcsin

∞

13)

(−1)n−1

√n

n + 1

15)

∞ ln 1 +

(−1)n−1

√n

n , n + 1

∞(−1)n

2)X √ , n=2 3 ln n

∞1

6)X (−1)n(2ln n − 1),

n=2

∞ (−1)

−

3n ,

n 1

2n + 5 ·

10)

∞

n−1

n + 1

(−1)

√

∞

sin nπ

12)

n + 1,

√n + ln5 n·

( 1)n−1

14)

∞

−

1+ n

16)

∞

(−1)n−1

−

√n + (

1)n

∞ sin nπ

X 6

17)	∞			(−1)n−1					,
17)	nX			(−1)n−1					,
	nX	n ln n + (			−		1)n sin n
	=2
19)	∞	(−1)n sin 2n						,
19)	nX	(−1)n sin 2n						,
	nX		ln(n + 1)
	=1		ln(n + 1)
				n(n + 1)
	∞								2n + n
	∞			2					2n + n
	nX
21)	(−1)								3n + n2 ,
	=1
23)	∞		cos(n + π4 )			.
23)	nX					.
	nX
	=1 ln2(n + 1)

18)

∞

(−1)n−1

√

+ (

−

1) ln n

∞ (

−

1)n(1 + √

sin nπ )

20)

5n + n

22)

∞ cos(

+ nπ) sin

Пример 1.5. Исследовать сходимость ряда

Основные понятия см. в [1] на стр. 548-549 или в [2] на стр. 293-316.

Пример 1.7. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд

n=1 np + ln n.

B Прежде всего заметим, что при произвольном p R общий член ряда an → 0 при n → ∞. Справедливы следующие соотношения:

cos nπ

sin2 nπ

sin nπ

, n

+ ln n

− n

+ ln n

≤ n

2 n

+ ln n

+ ln n ≤ n

+ ln n

≥

если p > 0,

Так как

при n

+ ln n

→ ∞

если p

≤

ln n

∞

то ряд

сходится при p > 1. Значит, при p > 1 сходится ряд

np + ln n

∞

| sin nπ6 |

, а рассматриваемый ряд сходится абсолютно.

np + ln n

∞

sin2 nπ6

Исследуем теперь при p ≤ 1 ряд

. Он является разностью

np + ln n

∞

двух рядов: положительного —

и знакопеременного —

np + ln n

∞

cos nπ3

. Первый из них расходится в силу признака сравнения. По-

np + ln n

кажем сходимость второго. Имеем:

1)		m			nπ	1			= 2, m ≥ 1 .
			cos			≤
		=1	cos		3	≤		sin π/6
		=1
	nX


2)					1		→ 0 при n → ∞ и произвольном p ≤ 1.
	an =
	an =			np + ln n

3) стремление an к нулю монотонно, так как производная функции f(x) =

отрицательна на [1, +∞) (проверьте!).

xp + ln n

Таким образом, выполнены все условия признака Дирихле, и второй

ряд сходится при p ≤ 1. Следовательно, ряд

∞ sin2 nπ6

, а поэтому и ряд

=1 np + ln n

∞

| sin nπ6 |

расходится при p

≤

=1 np + ln n

∞

cos nπ3

Легко показать (аналогично тому, как исследован ряд

)

np + ln n

сходимость исходного ряда p (≤ 1)nπ.

∞

sin 6

Подведём итог. Ряд

сходится абсолютно при p > 1

np + ln n

условно при p ≤ 1.

1.3.1. Исследовать на абсолютную и условную сходимость следующие знакопеременные ряды.

∞

(−1)n−1

=1 2√n + 1

∞

(−1)n−1

=1 n(√n + 1 + √n)

∞

sin n

√n4 + 1 + √n4

−

∞

cos n

√n + ln n,

∞

(−1)n

√

nX n

11)

∞

(−1)n ln n

√n + 1

13)

∞

sin n

−

15)

∞

(−1)n

cos

=1 n2 + √n

17)

∞

(−1)

n+1

=2 n ln n

∞

sin nπ3

19)

n(1 + ln n),

∞

21)

(−1)

(2n

1),

−

=1 2n + 1

(

1)n−1

∞

−

=1 ln n + 3

∞

(

1)n

− √

100

2 ,

=1 ln

n + n

n +

∞

sin nπ4

2 ln n + 1,

∞

(−1)n sin n

√n

10)

∞

(−1)n

√

n + 1

12)

∞

(−1)n ln12 n

√

n + n + 1

14)

∞

(−1)n

cos

=1 n + √n

∞

16)

(−1)

n+1

=2 n ln2 n·

∞

sin nπ3

18)

=1 n√n ,

∞

(−1)n−1√

20)

−

√n

22)

∞

(−1)n

=1 2n + 1· 2n + 3

			n		1
	∞	(−1) sin				,
23)	∞	(−1) sin			2n+1
23)	nX
	nX		ln n
	=2		ln n
	=2
	∞	sin(n!)
25)	nX			,


	=1 n√n + 1

∞(−1)n

27)X √ , n=1 nn

29)

∞

(−1)n

=1 n + ln n

31)

∞

(−1)n

arctg n,

=1 n + ln n

33)

∞

sin(2n)

=2 n ln

∞

cos 2n

35)

arcsin q0, 2,

n=1

2n + 1

37)

∞

(−1)n

cos

ln n

39)

∞

√3

(−1)n

sin(1 +

n + 1 + √n

∞

n √

√

41)

n),

(−1) ( n + 1 −

43)

∞

sin 2n

2n + 1

∞

cos nπ3

n + 1

45)

cos

ln ln n

3n + 5

22 ∞

(

1)n ln10 n

24)

−

n2 + 1

∞

n ln n

26)

(−1)

n ,

∞

cos nπ4

3n + 1

28)

=1 2n + 3·

30)

∞

sin n

n + cos n

∞

sin nπ6

32)

√n + 5 ln n + 3,

34)

∞

sin n

arcsin

2n + 1

∞

cos 2πn5

36)

=1 2 ln n + √n + 1 arctg n ,

∞

ln n

38)

· sin n,

sin √3

−

+ n

n + 1

40)

∞

√3

(−1)n

sin

√4 1

n + 1 + √n

√

∞

n √

42)

(−1) (

n + 1 −

n − 1) sin √n,

√

∞

sin nπ

44)

=1 3√n + 5n + 1·

46)

∞

sin nπ6

n2 ln n

47)

∞

cos n

sin

ln n

n5 + 1

49)

∞

(−1)n sin2 n

√n4 + 2n

nπ

n + 1

51)

∞ sin

arctg

∞

sin nπ6

53)

=2 2√n + 3 ln n,

∞

cos n ln12 n

55)

√3 3n

−

ln n,

57)

∞

cos n· arcsin n3+1n

=1 n(ln2 n + ln n + 1)

∞

cos nπ4

59)

−

=2 n

√n arcsin 3√n,

61)

∞

sin

nπ

2 ,

2nn

−

=1 3n + 1·

∞

nπ

ln100 n

63)

sin

4 ·

(−1)[√

]

65)

∞

sin

n + 10

∞

sin n

67)

n + 3 sin nπ ,

48)

∞

(−1)n ln n

=2 n2 + n + 1· 5n + 2

∞

√

50)

cos n tg

52)

∞

sin n

√

n ln

∞

cos n ln5 n

54)

√3 n + 3n2 + 5n5 ,

56)

∞

(−1)n−1

np+1/n

58)

∞

(−1)n

lnp n

60)

∞

(−1)n

=1 n + sin n

∞ √

√

62)

( 2n + 1 −

2n − 1) sin n,

∞

√

64)

sin n· 2n + 25,

66)

∞

sin nπ4

np + 1

68)

∞

(−1)n

1· 4· 7· . . . · (3n − 2)

(2n + 5)

11 . . .

69)

∞

(−1)n

n + (

−

71)

∞

(−1)n

n p

[n + (

−

1) ]

73)

∞ ln 1 +

(−1)n

√n

75)

∞

n−1

(−1)

sin n

∞

n + 1

77)

(−1)

sin √

· arctg n ,

79)

∞

sin n

cos

ln n + 1

n ln n

∞

(

−

1)n

81)

√

sin(ln n),

1 + 2n

+ 3n

n(n+1)

83)

∞

(−1)

ln n

85)

∞

(−1)n

√n

=3 ln ln n

∞

√

87)

sin(π

n2 + 1),

89)

∞

(−1)n−1

n + (

−

1)n ln n

∞

70)

(−1)

1· 5·

9· . . . · (4n −

· ·

(3n

−

=2 ln n

1 4 7 . . .

72)

∞

(−1)n

−

=1 [√n + ( 1)n 1]p

74)

∞

(−1)n(ln(n + 1) − ln n),

∞

76)

(−1)

sin n2 ,

78)

∞

sin n

sin

ln n + 1

n ln n

∞

(−1)n−1

80)

3n + 1

3n +

√n

=1 √n + ln nu

∞

82)

(−1)n sin √n n,

∞

cos(n!)

84)

=1 (n + 1)(ln3 n + 1)

∞

(2n)!!

86)

(−1)

(2n

−

1)!!,

∞

sin(π√3

)

n3 + n

88)

ln2 n

∞

sin n

90)

n + 10 sin n,

=10

1 / 41 2 3 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
26.09.2019656 Кб17Фотонные кристаллы.docx
#
01.07.2025690 Кб0фразеологизмы.docx
#
13.02.2015204 Кб15франц.революция.docx
#
03.05.2015285 Кб28Французская литература эпохи Просвещения.doc
#
15.11.20192 Мб31Функции предел и непрерывность.doc
#
13.02.2015290 Кб76функциональные ряды.pdf
#
01.03.202568 Кб1ФурдЭй (или Мицкевич).docx
#
14.08.2019169 Кб4Фурса_Рабочая_программа_Макроэкономика.doc
#
01.05.2025118 Кб2ФФ 1 группа Полев А (Материя).doc
#
13.02.2015776 Кб30Х.Ортега-и-Гассет. Миссия университета.pdf
#
01.03.20251 Мб2Хаванский!!!.docx