Системы с отказом в обслуживании

В таких системах требование либо обслуживается, если есть свободный канал, либо теряется. Так происходит, если во время вызова вашего абонента по телефону он занят, вызов (ваше требование) не принимается, звонок приходится повторять.

На транспорте такие ситуации могут возникать на АЗС, когда по маршруту движения имеется несколько пунктов заправки; водитель при наличии очереди, имея некоторый запас горючего, не становится в очередь для заправки, а следует к другой АЗС.

Для характеристики системы применяют коэффициент загрузки системы – минимальное число обслуживающих устройств в системе для предотвращения роста очереди. Значение коэффициента определяют по зависимости

^{, (13.20)}

где α –коэффициент загрузки.

Физический смысл коэффициента – среднее число заявок, приходящих за среднее время обслуживания одной заявки или, другими словами, отношение интенсивности потока к производительности поста.

Вероятность того, что обслуживанием поступающих требований заняты k устройств, выражается формулой

^{. (13.21)}

Вероятность того, что все обслуживающие устройства свободны,

^{. (13.22)}

Вероятность того, что все обслуживающие устройства заняты

^{. (13.23)}

Используя указанные зависимости, можно определить основные характеристики системы.

Пример. Диспетчерская АТП принимает заказы на транспортные услуги. В самое напряженное время среднее число звонков – один в минуту. Среднее время приема заказов – 4 минуты. Определить количество телефонных линий, необходимых для того, чтобы число отказов при попытке дозвониться до АТП не превышало 10 % от общего числа звонков.

Минимальное число обслуживающих устройств – коэффициент загрузки – определяют по формуле (13.20):

^{= 1 · 4 = 4.}

Следовательно, число обслуживающих телефонных линий должно быть не менее 4.

Вероятность того, что все каналы будут одновременно свободны, определяется по соотношению (13.22):

^.

Вероятность того, что все каналы будут одновременно заняты, определяется по соотношению (13.23):

^.

Полученный результат означает, что вероятность того, что все каналы одновременно заняты, составляет 31 %. По условию задачи эта величина не может превышать 10 %. Далее выполняют расчеты для 5, 6, 7 каналов и более, пока не получат значение P_n ≤ 0,1. В нашем примере

Р₆ = 0,117162; Р₇ =0,062749.

Следовательно, для достижения заданных условий обслуживания в диспетчерской должно быть установлено не менее 7 линий.

Системы с неограниченным потоком требований (разомкнутые системы)

В таких системах отсутствует связь между выходящим и входящим потоками требований, то есть работа системы не влияет на характеристики входящего потока.

Такие системы называют разомкнутыми; в сфере автотранспорта к таким системам относят погрузочно-разгрузочные пункты, обслуживающие подвижной состав, занятый на междугородных и международных перевозках.

Условием нормального функционирования такой системы является соблюдение неравенства

^{, (13.24)}

иными словами, среднее число заявок, приходящих за время обслуживания одной заявки, должно быть меньше, чем число постов обслуживания, в противном случае очередь будет расти до бесконечности.

Вероятность того, что все обслуживающие устройства свободны,

^{. (13.25)}

Вероятность того, что все обслуживающие устройства заняты,

^{. (13.26)}

Среднее время ожидания обслуживания

^{. (13.27)}

Среднее число требований, ожидающих обслуживания,

^{. (13.28)}

Среднее число простаивающих обслуживающих устройств за единицу времени

^{. (13.29)}

Потери:

а) от простоя автотранспорта

^{; (13.30)}

б) от простоя погрузочно-разгрузочных механизмов

^{. (13.31)}

Пример. Определить оптимальное число погрузочно-разгрузочных постов для загрузки подвижного состава, перевозящего груз между терминалами, исходя из минимальных потерь от простоя автотранспорта и погрузочно-разгрузочных машин.

Среднее время загрузки: t = 1,2 ч; за 1 час прибывает в среднем 2 автомобиля (λ = 2); удельные потери: от простоя автотранспорта С_пр.а = 50 р./ч; от простоя подъемно-транспортного оборудования С_пр.прм = 100 р./ч.

Определяем коэффициент загрузки системы

α = 2 · 1,2 = 2,4.

Так как соотношение α/n не может быть меньше 1, то число n не может быть меньше 3, то есть число постов может быть 3 либо больше. Результаты расчетов по формулам (13.25)–(13.31) приведены в табл. 13.41.

Минимальные суммарные потери, как видно из данных табл. 13.41, при n = 4, то есть для работы с минимальными потерями от простоев подвижного состава и подъемно-транспортного оборудования на погрузочно-разгрузочном пункте следует иметь 4 погрузочно-разгрузочных поста.