13.3. Транспортная задача. Постановка и методы решения

Необходимость решения транспортных задач появляется, когда имеется несколько, иногда очень много, вариантов выполнения перевозок, а выбрать необходимо один, который при этом был бы оптимальным.

Такими задачами могут быть:

закрепление грузополучателей за грузоотправителями при условии минимума транспортной работы на перевозки;

закрепление АТП за маршрутами перевозок из условия минимума нулевых пробегов;

выбор варианта организации перевозок с минимальными затратами времени на их выполнение;

выбор вариантов транспортного процесса при условии минимальной стоимости перевозок и др.

Наиболее часто встречается задача минимизации пробега при выполнении перевозок. Такие задачи обычно решаются для однородных грузов, которые можно перевозить однотипным подвижным составом.

Рассмотрим формулировку транспортной задачи линейного программирования (рис. 13.8).

Имеются грузообразующие пункты А₁, А₂, …, А_n с возможностями поставки соответственно а₁, а₂, …, а _n ; грузопоглощающие пункты В₁, В₂, …,В _m с потребностями в доставке грузов b ₁, b ₂, …,b _m.; кратчайшие расстояния между грузоотправителями и грузополучателями C _ij .

Необходимо разработать такой план:

чтобы удовлетворить потребности всех получателей;

вывезти весь груз от грузоотправителей;

при этом обеспечить минимум транспортной работы по грузообороту.

Экономико-математическая модель транспортной задачи с учетом перечисленных требований выглядит следующим образом:

cистема ограничений по количеству груза, доставляемого получателям,

х₁₁ + х₂₁ + …+ х_n1 = b₁ ,

x₁₂ + x₂₂ + …+ x_n2 = b₂ , (13.7)

… … … … … … … …

x_1m + x_2m + …+ x_nm = b_m .

система ограничений по количеству груза, вывозимого из пунктов отправки,

x₁₁ + x₁₂ + …+ x_1m = a₁ ,

x₂₁ + x₂₂ + …+ x_2m = a₂ , (13.8)

… … … … … … … … ...

x_n1 + x_n2 + …+ x_nm = a_n ^.

Для совместимости систем уравнений предполагается, что возможности грузоотправителей по отправке и потребности грузополучателей совпадают:

^{. (13.9)}

План перевозок считается оптимальным, если будет получен минимум транспортной работы

^{при x} _ij ^{≥ 0. (13.10)}

Математическая постановка задачи описывается линейными уравнениями, это значит, что данная задача относится к классу задач линейного программирования.

Особенности задачи:

1) коэффициенты в системе уравнений могут принимать значения 1 или 0 (то есть, когда грузопоток между грузоотправителем и грузополучателем есть, значение коэффициента равно единице, если же грузопотока нет, значение коэффициента равно нулю);

2) каждая переменная встречается в системах уравнений только дважды (два раза значения ее коэффициентов равны 1, в остальных случаях значения коэффициентов равны 0).

Уже отмечалось, что для решения задачи необходимо, чтобы соблюдалось условие равенства возможностей грузо-отправителей по отправке грузов и потребностей получателей. В реальной жизни чаще случается, что они не равны одно другому. Задача в этом случае называется несбалансированной, а для ее решения вводят дополнительного отправителя или получателя, которого называют фиктивным. Объемы отправки для такого грузоотправителя или потребности в грузе для получателя определяют по формулам

при ^{, (13.11)}

при ^{. (13.12)}

Расстояния перевозок для таких отправителей или получателей принимают равными 0.

Для решения задачи используют специальную таблицу – матрицу (табл. 13.11).

В графах матрицы обозначают грузоотправителей А _i и их возможности по отправке груза, в строках – грузополучателей B _j и их потребности; в клетках на пересечении строк и столбцов соответствующих грузоотправителей и грузополучателей, в правом верхнем углу, расстояния перевозок и в ходе решения – объемы перевозок на участке.

Кроме того, по одному столбцу и строке выделяют для записи величины потенциалов, о чем будет сказано далее.

Порядок решения:

1. первоначальное закрепление;

2. анализ возможностей улучшения решения;

3. проверка оптимальности полученного решения;

4. оформление результата.

1. Первоначальное закрепление потребителей продукции за поставщиками можно выполнить разными методами.

Метод северо-западного угла наиболее прост: закрепление производится с левого верхнего угла таблицы (клетка В₁А₁), по мере удовлетворения потребности получателя или исчерпания ресурса поставщика заполняются последующие клетки, расположенные правее и ниже. Как правило, первый полученный результат далек от оптимального, и требуется многократно выполнять проверку на оптимальность и перерасчет.

Методом двойного предпочтения для первоначального распределения определяются и помечаются (знаком “+” или другим) клетки с минимальным расстоянием по строке и столбцу. В клетки с двойными пометками заносится необходимая или возможная по ресурсу загрузка, после чего строки и столбцы, в которых исчерпаны потребности или возможности, из рассмотрения исключаются и вновь определяются клетки с двойным предпочтением. Затем процесс повторяется. Данный метод позволяет сократить количество проверок и улучшить план распределения.

Метод Фогеля дает возможность получить первое решение, близкое к оптимальному, иногда сразу оптимальное. Закрепление методом Фогеля производится в следующем порядке:

находится разность минимальных расстояний по строкам и столбцам;

в строке или столбце с максимальной разностью определяется клетка с минимальным расстоянием, куда и заносится максимально возможная загрузка; при нескольких одинаковых разностях выявляется клетка с минимальным расстоянием (седловая точка), в которую и заносится загрузка;

после удовлетворения спроса или исчерпания ресурса строка или соответственно столбец из рассмотрения исключаются, пересчитываются разности по строкам и столбцам и процесс повторяется.

После завершения закрепления определяется объем транспортной работы при полученном распределении

^{. (13.13)}

Вариант первоначального закрепления, выполненный методом двойного предпочтения, приведен в табл. 13.12.

2. Анализ возможностей улучшения решения проводится для уменьшения трудоемкости дальнейшего решения. Целесообразно рассмотреть возможность перемещения загрузки в клетки с меньшим расстоянием перевозки. Такое перемещение допускается, если его можно компенсировать аналогичным перемещением по другой строке (столбцу), и целесообразно, если при этом будет соблюдено условие: сумма расстояний в клетках, откуда перемещается загрузка, больше аналогичной суммы расстояний в клетках, куда перемещается загрузка.

Проверка по строкам показывает, что такая передвижка целесообразна из клетки А₄В₃ в клетку А₂В₃, его компен-сирующая передвижка – А₂В₂ → А₄В₂. Количество передви-гаемого груза в данном случае составит 25 т, что соответствует значению меньшей загрузки в клетках, откуда перемещается загрузка. Результат передвижения загрузки приведен в табл. 13.13.

Выигрыш от такого перемещения

∆P = [(14 + 10) – (11 + 11)] · 25 = 50 ткм.

После передвижки загрузки по строкам проверяется возможность аналогичной передвижки по столбцам. Результат перемещения по клеткам В₃А₄ → В₂А₄ и В₂А₁ → В₃А₁ в размере 15 т показан в табл. 13.13 и 13.14.

3. Проверка оптимальности распределения производится с помощью вспомогательных показателей, называемых потенциалами.

Потенциалы определяются для столбцов u и строк v из условия, что разность потенциалов v – u = c, то есть для каждой загруженной клетки разность между соответствующими этой клетке потенциалами равна расстоянию, указанному в этой клетке. В соответствии с данным правилом потенциалы рассчитываются в следующей последовательности:

находится загруженная клетка с наибольшим расстоянием;

столбцу, где она расположена, присваивается потенциал, равный нулю;

определяются потенциалы остальных строк и столбцов; при этом для загруженных клеток соблюдаются правила:

для столбцов u = v – c; для строк v = u + c.

Полученные значения потенциалов заносятся в таблицу (табл. 13.15).

Однако не все потенциалы удалось определить. Потенциалы u₃ и v₁ остались ненайденными. Для того, чтобы все потенциалы можно было найти, необходимо, чтобы число загруженных клеток в матрице N было равно n + m – 1 , где n –число отправителей (основных столбцов); m-число получателей (основных строк).

В случае, если N < n + m – 1, все потенциалы определить невозможно, необходимо искусственно загрузить недостающее количество клеток матрицы, для чего в них записывают нуль. В последующих расчетах с такими клетками оперируют, как с загруженными (табл. 13.16).

Если же N > n + m – 1, то неоднозначно определяются некоторые потенциалы. В таком случае уменьшают число загруженных клеток.

После определения потенциалов столбцов и строк производят анализ незагруженных клеток, для чего сравнивают разность потенциалов v – u строки и столбца и расстояние с, указанное в клетке. Наличие клеток, для которых разность соответствующих им потенциалов больше расстояния, указанного в клетке, то есть v – u > c, показывает, что распределение не оптимально и план можно улучшить. Для каждой такой клетки определяют число d по формуле

d = v – u – c (13.14)

Клетки, в которых число d положительное, помечают, про-ставляя в них значение числа d – клетки В₁А₁, В₁А₂ (табл. 13.17).

Из всех таких клеток выбирают клетку с наибольшим значением числа d (в клетке А₁В₁ d = 3), данной клетке присваивают знак – и строят контур – замкнутую линию, состоящую из прямых горизонтальных и вертикальных отрезков, все вершины которой лежат в загруженных клетках, присваивая клеткам попеременно знак + или –, пока контур не замкнется на начальной клетке. Форма контура любая, но все углы прямые, пересечения линий не являются вершинами контура (табл. 13.18).

Из всех клеток, обозначенных знаком +, выбирают наименьшее значение и, отнимая его от загрузок со знаком +, прибавляют к загрузкам со знаком –. В нашем примере загрузка из клетки А₄В₅ (10 т) последовательно по контуру перенесена в клетку А₁В₁ (табл. 13.19).

В результате получают новый вариант распределения, который вновь проверяют на оптимальность. Один цикл проверки и улучшения плана называют “итерация”. Количество итераций зависит от того, насколько близко первоначальное распределение к оптимальному (табл. 13.20–13.22).

По достижении оптимального плана вновь определяют величину транспортной работы по формуле (13.13) и сравнивают с первоначальной.

Если при первоначальном закреплении грузополучателей за грузоотправителями объем транспортной работы составил 2775 ткм (табл. 13.12), в результате перемещения загрузки его удалось снизить до 2710 ткм (см. табл. 13.15), то после оптимизации грузооборот составил 2640 ткм, что на 135 ткм меньше, чем в первоначальном варианте.

4. Окончательный вариант расчета оформляют в виде таблицы с реальными наименованиями грузоотправителей и грузополучателей (табл. 13.23).

Считается, что задачи с размером матрицы n × m > 500 можно решать вручную (опытные специалисты решают их за 2–3 часа), при больших размерах их целесообразно решать с помощью ЭВМ.