Лекция 3. Векторная алгебра.

Все величины бывают скалярные и векторные. Скалярной величиной или скаляром называется величина, которая вполне определяется своим численным значением.

Примеры физических скалярных величин: t-температура; m-масса; -плотность распределения массы; L- длина; S-площадь и т.д.

Вектором или векторной величиной называется величина, которая характеризуется не только своим численным значением, но и определенным направлением в рассматриваемом пространстве.

Векторы- сила, скорость, ускорение, напряженность электрического поля .

О пределение. Направленный отрезок (или, и что то же, упорядоченная пара точек - начало и конец отрезка) будем называть вектором.

Геометрическое изображение вектора:

Обозначение вектора: , либо . Направление на отрезке обозначается стрелкой.

Численное значение вектора называется его модулем или абсолютной величиной и обозначается: l l, l l.

Нулевой вектор- у которого начало и конец совпадают. Он обозначается и его модуль равен нулю, а направление неопределенно.

Определение. Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной прямой или на параллельных прямых. Обозначают: ll .

Определение. Векторы называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны.

Определение. Два вектора называются равными, если они коллинеарные, одинаково направлены и имеют одинаковую длину.

Из этого определения следует, что мы будем изучать свободные векторы, т.е. вектор параллельно самому себе, не изменяя направления, можно переносить в любую точку пространства.

Векторы являются предметом векторного исчисления подобно тому, как числа являются предметом арифметики или алгебры.

Линейные операции над векторами.

К линейным операциям над векторами относятся операции умножения вектора на число и сложение векторов.

Определение. Под произведением вектора на число  понимается вектор , удовлетворяющий следующим условиям:

1. l l=ll l l;

2. вектор коллинеарен вектору ( ll );

3. векторы и направлены одинаково, если >0 и противоположно, если  <0.

Произведение вектора на число  обозначается  .

Замечание 1. Пусть = ( l l0 ), рассмотрим вектор = , тогда l l= =1. Векторы и коллинеарны и одинаково направлены, тогда -единичный вектор, сонаправленный с . Вектор - орт вектора , и обозначается ⁰, т.е. = ⁰ и = l l или = ⁰ l l.

Замечание 2. Пусть дан вектор 0. Для любого коллинеарного ему вектора существует и притом одно число , удовлетворяющее равенству = , тогда l l= l l и = , если и одинаково направлены и = - , если они противоположно направлены.

Определение. Суммой двух векторов и , приведенных к общему началу, является диагональ параллелограмма ( ), построенного на этих векторах как на сторонах ( правило параллелограмма ).

П равило треугольника: начало следующего вектора поместить в конец предыдущего и вектор, соединяющий начало первого с концом последнего есть вектор суммы.

Ч тобы сложить несколько векторов, достаточно начало каждого последующего вектора совместить с концом предыдущего, тогда замыкающий вектор, идущий из начала первого в конец последнего, будет вектором суммы (правило многоугольника).

Определение. Вектором, противоположным к данному вектору , называется вектор

- , модуль которого равен модулю вектора , а направление противоположно.

Определение. Под разностью двух векторов и понимается такой третий вектор = - , который при сложении с вычитаемым вектором дает уменьшаемый вектор .

Правило построения разности векторов и :

П риводим векторы и к общему началу, и соединяем концы векторов и . Вектор разности направлен из конца вычитаемого вектора ( ) в конец уменьшаемого вектора ( ).