6. Степенная производственная функция. Функция Кобба-Дугласа

Разновидностью производственной функции является степенная функция вида: Y = K ^ L ^. При этом  и  - это коэффициенты эластичности объема выпуска по капиталу и труду соответственно:

 = dY/dK x K/Y, а  = dY/dL x L/Y

Если  +   1, то имеет место возрастающий эффект масштаба.

Если  +   1, то имеет место убывающий эффект масштаба.

Если  +   1, то имеет место постоянный эффект масштаба.

Наиболее известной степенной производственной функцией с постоянным эффектом масштаба является функция Кобба - Дугласа: Y = А K ^ L ^ , где А – технологический коэффициент. Кобб и Дуглас рассчитали значение этих постоянных коэффициентов:  = 1/4, а  = ¾.

Доход на капитал = МР_К ^. К = α Y и доход на труд = MP_L ^. L = (1 - α)Y,

где α - постоянная от нуля до единицы, измеряющая долю капитала в доходе, т.е. а определяет, какая часть дохода достается владельцу капитала, а какая часть идет на оплату труда. Кобб показал, что функцией, обладающей такими свойствами, является Y = F (K, L) = АК ^α L ^{1- α} ,

Производственная функция Кобба-Дугласа обладает свойством постоянной отдачи от масштаба, т.е. если количество капитала и труда увеличится в равной пропорции, то объем производства увеличится в той же самой пропорции .

6. Степенная производственная функция. Функция Кобба-Дугласа

Разновидностью производственной функции является степенная функция вида: Y = K ^ L ^. При этом  и  - это коэффициенты эластичности объема выпуска по капиталу и труду соответственно:

 = dY/dK x K/Y, а  = dY/dL x L/Y

Если  +   1, то имеет место возрастающий эффект масштаба.

Если  +   1, то имеет место убывающий эффект масштаба.

Если  +   1, то имеет место постоянный эффект масштаба.

Наиболее известной степенной производственной функцией с постоянным эффектом масштаба является функция Кобба - Дугласа: Y = А K ^ L ^ , где А – технологический коэффициент. Кобб и Дуглас рассчитали значение этих постоянных коэффициентов:  = 1/4, а  = ¾.

В 1927 г. Пол Дуглас, экономист, который затем был сенатором США от штата Иллинойс с 1949 по 1966 г., заметил, что распределение национального дохода между капиталом и трудом почти не изменяется с течением времени. Другими словами, по мере роста производства, как рабочие, так и собственники капитала равным образом пользуются благами возросшего процветания экономики. Это наблюдение заставило Дугласа задуматься над вопросом о причинах постоянства долей факторов производства. Дуглас обратился к математику Чарльзу Коббу с вопросом, какая производственная функция, если такая существует, обладала бы свойством постоянства долей факторов производства, при условии, что производства всегда получают свои предельные продукты.

Производственная функция должна обладать свойствами:

доход на капитал = МР_К х К = α Y и доход на труд = MP_L x L = (1 - α)Y,

где α - постоянная от нуля до единицы, измеряющая долю капитала в доходе, т.е. а определяет, какая часть дохода достается владельцу капитала, а какая часть идет на оплату труда. Кобб показал, что функцией, обладающей такими свойствами, является

Y = F (K, L) = АК ^α L ^{1- α} ,

где А - положительный параметр, измеряющий производительность существующей технологии. Эта функция стала известна как производственная функция Кобба-Дугласа. Многие экономисты обнаружили, что функция Кобба-Дугласа правильно отражает то, каким образом экономика преобразует производственные ресурсы в конечную продукцию. Поэтому целесообразно подробнее рассмотреть некоторые ее свойства.

Первое, производственная функция Кобба-Дугласа обладает свойством постоянной отдачи от масштаба, т.е. если количество капитала и труда увеличится в равной пропорции, то объем производства увеличится в той же самой пропорции .

Математическое примечание. Для доказательства того, что производственная функция Кобба-Дугласа обладает свойством постоянной oтдачи от масштаба, проанализируем, что получится, если умножить капитал и труд на постоянную Z:

F(zK, zL) = A(zK) ^а (zL) ^{1- а}

Раскрывая скобки справа F(zK, zL) = Az ^а К ^а z ^{1- а} L ^{1- а}

и приводя подобные члены, получим F(zK, zL) = z ^а z ^{1- а} AК ^а L ^{1- а}.

Так как z ^а z ^{1- а} = z , то функция принимает вид, F(zK, zL) = z AК ^а L ^{1- а},

но АК ^α L ^1-α = F(K,L).

Следовательно, F(zK, zL) = zF(K, L) = zY.

Таким образом, объем производства возрастает в той же пропорции, что и затраты факторов, а это означает, что эта производственная функция обладает свойством постоян­ной отдачи масштаба).

Теперь давайте рассмотрим предельную производительность факторов в производственной функции Кобба-Дугласа.

Математическое примечание. Для того чтобы получить формулу для предельного продукта из формулы производственной функции, необходимо вспомнить алгебру. Чтобы найти MP_L , продифференцируйте производст­венную функцию по L. Это можно сделать, умножив функцию на показа­тель степени (1 - а) и вычтя 1 из старого показателя степени, чтобы получить новый показатель степени: - а. Аналогичным образом, чтобы получить МР_К продифференцируйте функцию по К.

Предельный продукт труда MP_L = (l - α)AK ^αL ^{- α},

и предельный продукт капитала МР_К = а AK ^{α -1} L ^{1 - α} .

Учитывая, что а постоянная, изменяющаяся в интервале от 0 до 1, из этих трех уравнений можно определить причины изменений предельных продуктов факторов производства. Увеличение количества капитала увеличивает MP_L и снижает МР_К. Аналогично, увеличение количества труда увеличивает МР_К и снижает MP_L. Технологический прогресс, который увеличивает параметр А, пропорционально увеличивает предельный продукт обоих факторов производства.

Производные функции Кобба-Дугласа можно записать как:

Математическое примечание. Чтобы проверить эти выражения, подставьте Y вместо выражения производственной функции в полученные ранее формулы для предельных продуктов). MP_L = (1- α )Y/L, МР_К = α Y / K. MP_L пропорционален объему выпускаемой продукции на одного работника, а МР_К пропорционален объему выпускаемой продукции на единицу капитала. Y/L называется средней производительностью труда, а Y/K - средней производительностью капитала. В случае производственной функции Кобба-Дугласа предельная производительность факторов производства пропорциональна их средней производительности.

Теперь можно показать, что если факторы производства получают свои предельные продукты, то параметр а в самом деле показывав, какая часть национального дохода приходится на долю труда, и какая – на долю капитала. Общие расходы на оплату труда равны MP_L x L, или (l - a)Y. Следовательно, (1 - а) – доля труда в произведенном продукте. Аналогично, общая сумма дохода на капитал МР_К х К = а Y, где а – доля капитала в продукте.

Отношение дохода труда к доходу капитала (1 - α) / α постоянно, что и обнаружил Дуглас. Доли факторов производства зависят только от параметра а и не зависят ни от количества труда и капитала, ни от уровня применяемой технологии, который измеряется параметром А.

Более поздние данные также согласуются с производственной функцией Кобба-Дугласа. Несмотря на множество изменений в экономике отношение дохода труда к доходу капитала оставалось в границах от 2 до 3. Такое распределение дохода легко объясняется производственной функцией Кобба-Дугласа, в которой доля капитала а равна приблизительно 0,3.