Іі. Границя функції однієї змінної.

1. Означення границі функції у точці

Означення 1. Число А називається границею функції при або в точці х₀, якщо для будь-якого числа існує таке число , що для всіх , і таких, що , справджується нерівність . Символічно це записують так: .

Зауваження 1. Словосполучення „ і таких, що ” можна записати скорочено у вигляді нерівності .

Зауваження 2. Умова накладена для того, щоб охопити випадки, коли у точці функція не визначена, а якщо , то вона має границю – число А.

Геометрична інтерпретація границі функції у точці має такий вигляд:

Теорема 1

Границя лінійної функції у точці дорівнює значенню функції у цій точці, тобто .

Доведення

Щоб довести дану рівність, треба показати, що для будь-якого додатного числа існує додатне число , таке, що з нерівностей випливає нерівність (*).

Знайдемо число . Для цього у лівій частині нерівності виконаємо тотожні перетворення , , . Звідси .

Отже, якщо взяти , то для всіх х, які задовольняють нерівність , справджується нерівність (*).

Приклад 1

Довести, що

Розв’язання.

Задамо додатне число і знайдемо число , таке, щоб для всіх і таких, що справджувалась нерівність .(1) Щоб знайти , слід розв’язати останню нерівність відносно . Для цього застосуємо прийом підсилення нерівності. Виконаємо тотожні перетворення у лівій частині нерівності (1).

Дістанемо: , або .(2).

Замінимо в нерівності (2) множник на число 5, яке він не перевищує, бо < 1, коли . При цьому одержимо (3).

Якщо справджується нерівність (3), то справджується рівносильна їй нерівність (2). З нерівності (3) дістанемо . Таким чином, за можна взяти менше з двох чисел 1 і . Отже, якщо . Нерівність доведено.

2. Нескінченно малі величини

Означення 2. Функція називається нескінченно малою при , якщо її границя дорівнює нулю:

.

Теорема 2

Якщо функція має при границю, що дорівнює А, то її можна подати так: =А+ .

Властивості нескінченно малих.

Властивість 1

Сума будь-якого скінченого числа нескінченно малих величин є нескінченно малою величиною.

Властивість 2

Добуток нескінченно малої величини на обмежену функцію є нескінченно малою величиною.

Властивість 3

Частка від ділення нескінченно малого на функцію, границя якої відмінна від нуля, є нескінченно малою величиною.

3. Основні теореми про границі. Ознаки існування границі

Теорема 3

Функція не може мати більше однієї границі.

Нехай відомо, що , .

Теорема 4

Границя алгебраїчної суми скінченого числа функцій дорівнює сумі границь цих функцій, тобто .

Теорема 5

Границя добутку скінченого числа функцій дорівнює добутку границь цих функцій, тобто .

Наслідок. Сталий множник можна виносити за знак границі.

Теорема 6.

Границя частки двох функцій дорівнює частці границь ( за умови, що границя дільника не дорівнює нулю).

, .

Теорема 6.

Про границю суперпозиції двох функцій.

Якщо , , тоді .

Теорема 7.

Якщо в околі деякої точки : , тоді

Теорема 8.

Якщо в околі деякої точки : , , тоді .