12. Дифференциальные уравнения

Определение: дифференциальным уравнением называется соотношение, связывающее независимую переменную x, искомую функцию и ее производные. Если искомая функция есть функция одной независимой переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным.

Всякая функция , которая, будучи подставлена в уравнение, обращает его в тождество, называется решением этого уравнения. Решение уравнения, содержащее произвольную постоянную величину, имеет вид .

Дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид: или . Например: ; .

Порядком (рангом) дифференциального уравнения является порядок старшей производной входящей в него. Общий вид дифференциального уравнения -го порядка следующий: .

Общим решением дифференциального уравнения -го порядка называется функция , существенно зависящая от произвольных постоянных и обращающая данное уравнение в тождество при любых значениях этих постоянных.

Уравнение вида , где и – постоянные действительные числа называется линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Его решение имеет вид функции . Дифференцируя ее, имеем , . Уравнение, получаемое при подстановке в условие значений и , имеет вид – называется характеристическим уравнением данного дифференциального уравнения.

Решить, или проинтегрировать, данное дифференциальное уравнение – значит найти его общее решение, которое имеет вид: . Решение, которое получается из общего решения при некотором фиксированном значении произвольной постоянной С, называется частным решением: если при , , то такие условия называются начальными.

Простейшие классы дифференциальных уравнения:

1. , тогда если данный интеграл берется, то уравнение интегрируется в элементарных функциях.

2. Уравнение вида (правая часть не содержит х). Т.к. , то , . Интегрируя обе части имеем: или (могут быть потеряны корни ).

3. Уравнение с разделенными переменными, т.е. уравнение вида: , или

4. Уравнение с разделяющимися переменными имеет вид: или . Его можно записать виде: .

13. Ряды

    1. Основные понятия:

Определение 1. Математическое выражение называется числовым рядом, или просто рядом, а числа называются членами ряда. Применяется и запись: .

Ряд считается заданным, если известен общий член .

Сумма конечного числа членов ряда , , и т.д. называются частными суммами (отрезками) ряда.

Рассмотрим последовательность .

Определение 2. Если существует предел , то ряд называется сходящимся, а число S – суммой этого ряда.

Если эта последовательность не имеет предела, то ряд называется расходящимся.

Расходящийся ряд суммы не имеет.

2. Признаки сходимости ряда:

Если ряд сходится, то общий член стремится к нулю при неограниченном возрастании n, т.е. (это необходимый признак сходимости ряда).

Если общий член ряда не стремится к нулю, то ряд расходится при .

Признак Даламбера: если для положительного ряда существует , то при ряд сходится, а при – расходится.

Числовые ряды бывают знакопостоянные и знакопеременные: если все члены ряда только положительные, то это знакоположительный ряд; если все члены – отрицательные, то это знакоотрицательный ряд; если не все члены имеют одинаковые знаки, то это знакопеременный ряд.

Ряд, членами которых являются функции , называются функциональными. Пример: .

Если в функциональном ряде придать значение , то ряд будет числовым.

Степенными рядами называются функциональные ряды вида , где – постоянные числа, называемые коэффициентами степенного ряда.

Пример:

. Этот ряд сходится лишь при . При всех этот ряд расходится. Такой ряд относится к рядам первого класса.

Есть степенные ряды, которые сходятся на всей числовой оси. Такие ряды относятся к рядам второго класса. Например, ряд сходится на всей числовой оси:

Ряды, которые не принадлежат к рядам первого и второго классов, относятся к рядам третьего класса.

Например ряд ; есть ряд третьего класса, т.к. .

Определение: такое число , что степенной ряд сходится при и расходится при называется радиусом сходимости. Для рядов первого класса ; для ряда второго класса .

Если для ряда существует и отличен от нуля предел , то . В примере, рассмотренном выше, , а областью сходимости .