3. Непрерывность функции

Определение. Функция , определенная на интервале , называется непрерывной в точке , если (т.е. предел функции равен ее значению при предельном значении аргумента).

Свойства непрерывных функций:

1. Если функции и непрерывна в , то также непрерывны в этой точке их сумма , разность , произведение , а также частное при условии, что .

2. Если функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке , то сложная функция непрерывна в .

3. Функция называется непрерывной на интервале , если она на нем определена и непрерывна в каждой точке этого интервала.

4. Все элементарные функции непрерывны в соответствующей области определения.

Точки разрыва функции:

Рассмотрим функцию , определенную на интервале , кроме, быть может, точки . Значение аргумента называется точкой разрыва, если при функция определена, но не является непрерывной или не определена при этом значении . Если имеет точку разрыва и существуют пределы слева и справа, то это точка разрыва первого рода. Если пределы справа и слева равны, то – точка устранимого разрыва. Если хотя бы один предел не существует или является бесконечным, то – разрыв второго рода.

Пример:

1. , при .

, , при неопределенна и в этой точке пределы неравны, то это разрыв первого рода.

2. , . Устранимый разрыв.

3. , , . Разрыв второго рода.

4. , . Разрыв второго рода.

5. . Какой разрыв в ?

. Разрыв первого рода.

6. , . Точка разрыва.

7. (Устранимый разрыв при ).

Функция разрывна, если нарушается хотя бы одно условие:

8. Производная

   1. Определение производной

О пределение: производной функции в точке называется предел отношения приращения этой функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремиться к нулю.

Производная функции в точке обозначается символом (читается "эф штрих от ") или .

Действие нахождения производной функции называется ее дифференцированием.

 или 

 или 

Геометрический смысл : угловой коэффициент касательной к кривой при .

Уравнение касательной: .

Механический смысл производной (скорость есть изменение пусти по времени: )

2. Правила дифференцирования

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 

13. 

14. 

15. 

3. Производные высших порядков

Определение. Производной второго порядка или второй производной функции называется производная от ее производной: или или .

Если , то , – механический смысл второй производной.

4. Применение производной для исследования функции

Исследование функций можно провести по следующей схеме:

1. Найти область определения функции.

2. Исследовать изменение функции при стремящемся к концам промежутков области определения.

3. Поверить функцию на четность и нечетность ( – четная, – нечетная; и – общего вида).

4. Проверить, является ли функция периодической.

5. Найти критические точки (вычислить ; решить уравнение ).

6. Найти промежутки возрастания ( ) и убывания функции.

7. Определить точки экстремума, их вид и вычислить значения экстремумов.

8. Определить интервалы выпуклости ( ; – выпуклая вниз; – выпуклая вверх) и точки перегиба ( или не существует).

9. Найти точки пересечения графика функции с осями координат ( ).

10. Вычислить асимптоты кривой если , то прямая – вертикальная асимптота; если , , то –наклонная асимптота.

11. Построить график функции.

Правило Лопиталя. Производную можно применять для нахождения пределов отношений вида и : предел отношения двух бесконечо малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных, если последний существует: . Иногда правило Лопиталя приходится применять несколько раз.