10. Системы линейных уравнений

Определение 1: линейным уравнением с переменными называется равенство вида: , где и числа, одновременно не равные 0.

Определение 2: системой линейных уравнений с неизвестными называется совокупность линейных уравнений с переменными вида:

Числа называются коэффициентами системы (они берутся со своими знаками). – свободные члены.

Если , то система называется однородной.

Определение 3: Решить систему уравнений значит найти такие значения неизвестных, при подстановке которых во все уравнения получаются тождества (всегда верные равенства). Однородная система имеет решение, равное 0, но может иметь и другие.

Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной, система, не имеющая решений, называется несовместной.

Определение 4: Определителем системы линейных уравнений с неизвестными называется

;

Определитель получается, если i-ый столбец заменить столбцом свободных членов:

.

11. Формулы Крамера

Швейцарский математик Георг Крамер (1704-1752) вывел следующие формулы решения систем линейных уравнений с неизвестными:

1. составляем определитель системы , если ;

2. составляем вспомогательные определители ;

3. применяем формулы:

, , и т.д. .

Если , то система либо несовместная, либо неопределенная, имеющая бесчисленное множество решений.

12. Матричный способ решения систем линейных уравнений

Сущность матричного способа решения систем линейных уравнений состоит в том, что составляется три матрицы

; ; .

Можем составить матричное уравнение откуда ,

где – обратная матрица, а , , – решения системы.

Правило:

1. составляем матрицы , и ;

2. если , то составляем – обратную матрицу;

3. выполнив умножение и получаем , элементы которой – решение системы.

13. Метод Гаусса

Систему линейных уравнений с неизвестными , , …, можно решить методом исключения неизвестных. Если , то умножая первое уравнение на и прибавляя ко второму, получаем уравнение, которое не содержит . Умножая первое уравнение на и прибавляя к третьему получаем уравнение, также не содержащее . Аналогичным путем преобразуем все остальные уравнения, в результате чего придем к системе, эквивалентной исходной, но не содержащей в уравнении . Полагая и проводя аналогичные преобразования получим систему эквивалентную исходной, но в уравнение не содержащую . Выполнив ряд аналогичных действий, получим, что в последнем уравнении содержится только . Таким образом, – находим из последнего уравнения, – из предпоследнего, и т.д., а – из первого.

Метод последовательного исключения неизвестных применим к любой системе линейных уравнений.

6. Функции

   1. Понятие функции

Определение. Соответствие, при котором каждому значению переменной ставится в соответствие одно определенное значение переменной называется функцией от . Обозначается или .

Переменная называется независимой переменной или аргументом. Совокупность всех значений аргумента , для которых функция определена, называется областью определения этой функции. Совокупность всех значений, которые принимает , называется областью значений функции .