5. Проекция вектора на ось

Проекцией вектора на ось называется вектор , находящийся между началом вектора и основанием перпендикуляра, опущенного из конца вектора на ось .

Проекция вектора на ось равна произведению его модуля на косинус угла между векторами и осью. Действительно:

1. ;

2. ;

3. .

Следствие: проекция вектора на ось положительна, если (угол острый); отрицательна, если угол тупой; равна нулю, если угол прямой.

6. Скалярное произведение двух векторов

Скалярным произведением двух векторов называется произведение их модулей на косинус угла между ними. Оно обозначается . – есть проекция на и – проекция на . Скалярное произведение векторов есть произведение одного из них на проекцию другого на первый. Косинус угла между векторами:

Два вектора на перпендикулярны (ортогональны), т.е. тогда и только тогда, когда .

Свойства скалярного произведения:

1. – переместительное свойство;

2. – скалярный квадрат вектора;

3. – распределительное свойство;

4. – сочетательное свойство относительно числового множителя.

7. Координаты вектора

1. Н а плоскости. Если вектор задач двумя точками и , то вектор – способ задания вектора его координатами. Модуль вектора .

2. Координаты вектора в пространстве. Единичные векторы осей называются ортами: . Если векторы в пространстве лежат в одной плоскости или параллельны одной плоскости, то они называются компланарными.

Так как орты – некомпланарные векторы, то они образуют базис. Базисом в пространстве называются три линейно независимых вектора.

8. Разложение векторов

1. На плоскости. Пусть даны три вектора , и . Разложить вектор по направлениям и . Через проводим прямые параллельные и до пересечения с их направлениями. Получаем и : .

2. В пространстве: .

– вектор, который надо разложить по векторам , и .

9. Действия над векторами, заданным координатами в пространстве

1. При сложении векторов, заданных координатами, соответствующие координаты складываются: .

2. При умножении вектора на число его координаты умножаются на это число: .

3. Скалярное произведение векторов равно сумме парных произведений их одноименных координат: .

4. Косинус угла между векторами и в пространстве находится по формуле: , где

– длина вектора ;

– длина вектора .

5. Матрицы и определители

   1. Матрицы

Определение: таблица чисел вида, состоящая из строк и столбцов называется матрицей.

Числа называются элементами матрицы. Написанная выше матрица – прямоугольная. Если в матрице число строк равно числу столбцов , то такую матрицу называют квадратной, а число строк или столбцов – порядком матрицы.

Например – квадратная матрица второго порядка.

– квадратная матрица третьего порядка.

Если матрица состоит из одной строки, то это матрица-строка; из одного столбца – матрица-столбец.

Две матрицы называются равными, если они одинакового порядка и все элементы равны.

Матрица, все элементы которой нули, называется нуль-матрицей.

2. Сложение матриц.

Матрицы одинакового размера можно складывать. Суммой матриц называется такая матрица, элементы которой равны сумме соответствующих элементов слагаемых матриц: .

3. Вычитание матриц

Матрицы одинакового порядка можно вычитать. Разностью двух матриц и одинакового порядка называется такая матрица , что . Из определения следует, что элементы матрицы равны разности соответствующих элементов матрицы и : .

4. Умножение матрицы на число

Произведением матрицы на число называется матрица, элементы которой равны произведению числа на ее соответствующие элемент. При умножении матрицы на нуль получается нуль-матрица.

5. Умножение матриц

Пусть даны две матрицы:

и . Найти матрицу ?

Каждый элемент новой матрицы, находящийся на пересечении i-ой строки и k-го столбца представляет собой сумму парных произведений элементов i-ой строки первой матрицы на элементы k-го столбца второй матрицы.

Это правило сохраняется для умножения прямоугольных матриц, в которых число столбцов матрицы-множимого равна числу строк матрицы-множителя. В результате перемножения двух матриц получается матрица, содержащая столько строк, сколько их имеет матрица-множимое и столько столбцов, сколько их имеет матрица-множитель.

Особое значение имеет матрица , которая называется единичной, при умножении матрицы на получится .

Законы умножения матриц:

1. (переместительный закон не выполняется);

2. (сочетательный закон выполняется).