§ 9. Степенная функция с показателем ( , n 1)
Рассмотрим степенную
функцию
с натуральным показателем.
п > 1.
1. Пусть п нечетно. В этом случае функция строго возрастает на R, следовательно, обратима.
2. Пусть п
четно. В этом
случае функция
не обратима. Рассмотрим ее сужение на
множество
.
Функция
на множестве
строго возрастает, следовательно, ее
сужение на это множество является
обратимой функцией.
Определение.
Степенной
функцией с
показателем
(
,
n 1)
называется обратная функция для степенной
функции
,
если п
нечетно, и обратная функция для сужения
функции
на множество
,
если п
четно.
Свойства функции ( )
Свойства степенной функции с показателем являются следствиями свойств степенной функции . В доказательствах мы не будем исключать случай п=1.
1. Область
определения.
При нечетном п
областью
определения функции
является
множество значений функции
.
При четном п
ее областью
определения является образ множества
при отображении
.
Таким образом,
2. Множество значений.
По определению обратной функции множеством значений функции является область определения функции .
3. Ограниченность.
Так как множество
значений функции
является неограниченным сверху числовым
множеством, то функция f
неограниченна
сверху при любом п,
и, следовательно, неограниченна. Кроме
того,
,
если п
четно, –
ограниченное
снизу множество и
,
если п
нечетно, –
неограниченное снизу множество.
Следовательно, функция f
ограниченна
снизу при четном п
и неограниченна снизу при нечетном п.
4. Непрерывность. Функции при любом натуральном п непрерывна на своей области определения как обратная для непрерывной функции.
5. Четность, нечетность.
Предложение 8. Функция является нечетной при нечетном п и не является ни четной, ни нечетной при четном п.
Доказательство.
Пусть п
нечетно. В
этом случае область определения функции
– симметричное относительно нуля
множество. Проверим выполнимость
равенства
.
Пусть
– произвольная точка и
– значение функции в этой точке. Тогда
.
Так как степенная функция с натуральным
нечетным показателем п
нечетна и всюду определена, то
.
Отсюда получаем
и в результате имеем:
.
Следовательно, функция
является нечетной при нечетном
п.
Если п четно, то функция не является ни четной, ни нечетной, поскольку ее область определения Df= не является симметричным относительно нуля множеством.
6. Монотонность. Функция при любом натуральном п является обратной для строго возрастающей функции, следовательно, строго возрастает на своей области определения.
7. Неравенства, связанные со свойствами функции .
Предложение.
(1)
на
и
на
при любом
.
(2) Если
,
то
на
и
на
при любых
.
(3) Если
,
то
на
и
на
.
Доказательство.
(1).
Поскольку
функция
строго
возрастает на
,
то неравенство x > 1
влечет
.
Аналогично, из неравенства
следует
.
(2). Пусть
.
Предположим
на
.
Возведя обе
части этого неравенства в степень пт,
получаем
– противоречие со свойствами степенной
функции с натуральным показателем.
(3). Для доказательства достаточно положить т=1 в утверждении (2).
8. График функции.
При построении пользуемся тем, что
графики взаимно-обратных функций
симметричны относительно прямой
.
