Федеральное агентство по образованию

Вятский государственный гуманитарный университет

В. И. Варанкина элементарные функции

Учебное пособие

Киров

2006

ББК 22.1

В 18

Печатается по решению кафедры высшей математики Вятского государственного гуманитарного университета и совета УМО по математике педвузов Волго-Вятского региона

Под редакцией доктора физико-математических наук, профессора Е. М. Вечтомова

Рецензент

И. И. Подгорная, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики ВятГГУ

В 18 Варанкина В. И. Элементарные функции. Учебное пособие. – Киров: Изд-во ВятГГУ, 2006. – 72 с.

В учебном пособии приведены свойства всех основных элементарных функций. Изложение сопровождается подробными доказательствами свойств и разбором многочисленных примеров. Пособие предназначено студентам физико-математических специальностей при изучении дисциплины «Математический анализ». Может быть использовано студентами других специальностей по дисциплине «Математика», учителями математики и учениками старших классов общеобразовательных учебных заведений.

 Вятский государственный гуманитарный университет (ВятГГУ), 2006

 Варанкина В.И., 2006

Глава 1. Функции. Их виды и основные свойства

§1. Понятие функции

Определение. Пусть Х и Y – множества произвольной природы. Функцией или отображением из множества Х во множество Y называется закон f, по которому каждому элементу множества Х ставится в соответствие единственный элемент множества Y. Для обозначения функции используются символы:

f: Х → Y, , .

Множество Х при этом называется областью определения функции f и обозначается . Если при отображении f элементу соответствует элемент , то у называется образом элемента х, а х называется прообразом элемента у. Множество всех образов функции называется ее множеством значений и обозначается .

Определение. Функции f и g называются равными, если их области определения совпадают и значения функций во всех точках равны:

1) ;

2) для всех .

Если Х и Y – числовые множества, то функция f: Х → Y называется числовой. Далее, если специально не оговорено, под функцией мы будем понимать числовую функцию.

Определение. Графиком числовой функции называется множество всех точек координатной плоскости, у которых первая координата х принадлежит области определения функции, а вторая координата у является соответствующим значением функции:

График функции обладает следующим свойством: любая вертикальная прямая пересекает его не более чем в одной точке.

П ример. Окружность не является графиком никакой функции, поскольку можно построить вертикальную прямую х=х₀, пересекающую ее в двух точках.

При этом точке х₀ на оси ОХ соответствуют две точки на окружности с ординатами у₁ и у₂, что противоречит определению функции.

§2. Виды функций

Определение. Функция f: Х → Y называется инъективной, если разным элементам множества Х соответствуют разные элементы множества Y:

.

График инъективной функции обладает следующим свойством: любая горизонтальная прямая пересекает его не более чем в одной точке.

Определение. Функция f: Х → Y называется сюръективной, если все элементы множества Y участвуют в соответствии, т.е. Y= .

Определение. Функция f: Х → Y называется биективной, если она инъективна и сюръективна. Биективную функцию также называют биекцией или взаимно-однозначным соответствием.

Пример. Множества Х={a, b, c} и Y={1, 2, 3} изобразим точками плоскости. Законы соответствия f, g и h между множествами Х и Y зададим с помощью стрелок.

Соответствие f является функцией, поскольку каждому элементу множества Х поставлен в соответствие единственный элемент множества Y (из каждой точки множества Х выходит единственная стрелка). Функция f не инъективна и не сюръективна. Неинъективность на языке стрелок означает, что на схеме имеются две различные стрелки с общим концом (b→2 и с→2). Несюръективность означает, что во множестве Y имеется хотя бы одна точка, которая не является концом никакой стрелки (на схеме это точка 3).

Соответствие g не является функцией, поскольку элементу из множества Х соответствуют два элемента из множества Y: b→2 и b→3 (из точки выходит две стрелки).

Соответствие h является функцией, которая инъективна, сюръективна и, следовательно, биективна.