6. Нули и промежутки знакопостоянства.
Так как
,
то функция
не имеет нулей и принимает только
положительные значения.
7. Горизонтальные асимптоты.
Предложение. Прямые у=0 и у= являются горизонтальными асимптотами функции на + и – соответственно.
Доказательство.
1. Докажем, что прямая у=0
является горизонтальной асимптотой
функции
на
+.
Для
этого докажем, что
.
Напишем определение предела:
Для произвольного
возьмем
.
Тогда для любого
в силу строгого убывания функции
из неравенства
следует
.
Так как
,
то получаем
.
Предел доказан.
2. Докажем, что
прямая у=
является горизонтальной асимптотой
функции
на
–.
Для
этого докажем, что
.
Напишем определение предела:
Для произвольного
возьмем
.
Тогда для любого
в силу строгого убывания функции
из неравенства
следует
.
Так как
,
то
.
Из последних двух неравенств получаем
,
что означает:
.
Тем самым доказано, что
.
8. График функции
.
Графики функций
,
,
и
симметричны
относительно прямой
,
как графики взаимно-обратных функций.
Литература
Гельфанд И.М., Глаголева Е.Г., Шноль Э.Э. Функции и графики (основные приемы). – М.: Наука, 1968.
Ершов Л.В., Райхмист Р.Б. Построение графиков функций: Книга для учителя. – М.: Просвещение, 1984.
Камынин Л.И. Курс математического анализа. Т.1: Учебник. – М.: Изд-во МГУ, 1993.
Канин Е.С. Изучение начал математического анализа в средней школе: Учебное пособие. – Киров: ВятГГУ, 2006.
Кочетков Е.С., Кочеткова Е.С. Алгебра и элементарные функции. В 2 ч. – М.: Просвещение, 1971.
Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа: Учебник для университетов и вузов. В 3 т. Т.1 – М.: Высш. шк., 1988.
Леваков А.А., Пыжкова Н.В., Черенкова Л.П. Начала анализа в наглядном изложении. – Минск: Вышэйшая школа, 1982.
Мордкович А.Г., Солодовников А.С. Математический анализ: Учеб. для техникумов. – М.: Высш. шк., 1990.
Никольский С.М. Элементы математического анализа: Учеб. пособие. – М.: Наука, 1989.
Фихтенгольц Т.Н. Курс дифференциального и интегрального исчисления. В 3 т. Т 1. – М.: Наука, 2003.
Содержание
Глава 1. Функции. Их виды и основные свойства .3
§1. Понятие функции 3
§2. Виды функций 4
§3. Способы задания функции 5
§4. Операции над функциями 7
§5. Свойства функций: монотонность, четность, нечетность, периодичность, ограниченность 10
§6 Классификация элементарных функций 17
Глава 2. Элементарные функции и их свойства 19
§7. Степенная функция с натуральным показателем 19
§8. Степенная функция с целым отрицательным показателем 22
§9. Степенная функция с показателем ( , n 1) 26
§10. Понятие арифметического корня, его свойства 28
§11. Понятие и свойства степени с рациональным показателем 30
§12. Степенная функция с положительным рациональным показателем 31
§13. Степенная функция с отрицательным рациональным показателем 34
§14. Свойства степенной функции с рациональным показателем, связанные с неравенствами 35
§15. Определение степени действительного числа с иррациональным показателем 35
§16. Показательная функция 40
§17. Логарифмическая функция 44
§18. Степенная функция с иррациональным показателем 47
§19. Тригонометрический круг. Понятие синуса и косинуса числа. 50
§20. Функция и ее свойства 50
§21. Функция и ее свойства 54
§22. Функция
и ее
свойства 57
§23. Функция и ее свойства 59
§24. Функция и ее свойства 62
§25. Функция и ее свойства 63
§26. Функция
и ее
свойства 65
§27. Функция и ее свойства 67
Литература 70
Учебное издание