III. Периодичность.

Определение. Число Т ≠ 0 называется периодом функции f, если области определения функции вместе с любой точкой х принадлежат также точки х + Т и х – Т, и в этих точках значения функции равны:

1) ,

2) .

Определение. Функция f называется периодической, если она имеет период.

Периодическая функция каждое свое значение принимает бесконечно много раз. Очевидно, если число Т является периодом функции f, то ее периодом также будет любое число пТ при целом ненулевом п.

При построении графика периодической функции достаточно построить сначала его часть на любом отрезке длиной Т, а затем осуществить параллельный перенос этой части вдоль оси ОХ на Т единиц вправо и влево и далее достроить таким образом нужную часть графика.

Определение. Наименьший положительный период периодической функции называется ее основным периодом и обозначается Т_о.

Периодическая функция может и не иметь основного периода.

Примеры.

1. Функция является периодической.

Для нее любое число Т ≠ 0 является периодом, поскольку:

1) =R,

2)  для любого числа х.

Так как во множестве всех действительных положительных чисел нет наименьшего элемента, то функция не имеет основного периода.

2. Тригонометрические функции являются периодическими и имеют основной период (доказательство этого факта см. в следующей главе).

3. Функция не является периодической.

Покажем, что никакое число Т ≠ 0 не является периодом функции. Действительно, для любого число Т ≠ 0 имеем: . Следовательно, функция – не периодическая.

Этот вывод можно также обосновать и тем, что данная функция принимает значение 0 только один раз при .

IV. Ограниченность.

Определение. Функция f называется ограниченной сверху на множестве , если существует такое число М, что для всех х из множества Е:

f ограничена сверху на множестве .

Определение. Функция f называется ограниченной снизу на множестве , если существует такое число т, что для всех х из множества Е:

f ограничена снизу на множестве .

Определение*. Функция f называется ограниченной на множестве , если она ограничена сверху и снизу на этом множестве, т.е. существуют такие числа т и М, что для всех х из множества Е:

Часто при исследовании на ограниченность оказывается удобно использовать следующее определение ограниченной.

Определение**. Функция f называется ограниченной на множестве , если существует такое число М > 0, что для всех х из множества Е:

f ограничена на множестве .

Предложение. Определения * и ** ограниченной на множестве функции эквивалентны.

Доказательство. 1. Пусть функция f ограничена на множестве по определению *, т.е. существуют такие числа т и М, что для всех элементов х из множества Е Пусть М₀=max{|т|, |М|}. Очевидно, М₀0. По свойствам модуля действительного числа для всех элементов х из множества Е выполняется:

– М₀= – max{|т|, |М|} max{|т|, |М|}= М₀

Таким образом, – М₀  М₀   М₀ для всех х из множества Е. Следовательно, функция f ограничена на множестве ED_f по определению *.

2. Пусть функция f ограничена на множестве ED_f по определению **, т.е. найдется такое неотрицательное число М₀, что для всех х из множества Е выполняется неравенство М₀  – М₀  М₀. Обозначив М= М₀ и т= – М₀, получаем, что функция f ограничена на множестве ED_f по определению *.

Определение. Функция f называется ограниченной (сверху, снизу), если она ограничена (сверху, снизу) на своей области определения.

С геометрической точки зрения ограниченность функции сверху (снизу) означает, что существует такая горизонтальная прямая у = М (у = т), выше (ниже) которой точек графика функции нет. График ограниченной функции содержится в некоторой горизонтальной полосе . Заметим, что указанные в определениях числа т и М определяются не единственным образом. При условии их существования можно указать бесконечно много значений т и М.

Примеры. Исследуем на ограниченность следующие функции.

1. .

R. Для любого действительного числа х справедливо:

1 ) ;

2) .

Таким образом, нашлись такие значения т=0 и М=1, что для всех х выполняется неравенство .

Вывод: функция f является ограниченной.

2. .

1) Функция ограничена снизу, так как для любого х выполняется неравенство .

2) Докажем, что данная функция не ограничена сверху.

Нужно показать следующее: каково бы ни было действительное число М, для него найдется точка х₀, в которой значение функции больше, чем М. Рассмотрим случаи М < 0 и М  0.

Если М < 0, то в качестве х₀ можно взять любое число, тогда .

Если М  0, то возьмем . Тогда .

Следовательно, функция не ограничена сверху.

Вывод. Данная функция ограничена снизу, не ограничена сверху, не ограничена.